DU PREMIER DEGRÉ

9i . La méthode de substitution , que nous avons ( pour deux et pour trois équations, s'applique sans à un plus grand nombre d'équations. Supposons ait à résoudre n équations à n inconnues. De la équation on tirera la valeur de la première inconnue substituera dans toutes les autres équations, ce qui H — 1 équations an — 1 inconnues qui, jointes i mière, formeront un système équivalent au système De la seconde équation de ce second système , on même la valeur de la seconde inconnue que l'on su

ÉQUATIONS DU PREMIBR DKORÉ. 09

dus toutes les suivantes ; et le système fit^pooé aéra transknoé en un système équivalent composé d'une équation à n incoimues, d'une à n — i inconnues, et de n — s équations an— s inconnues. On continuera de la même manière jusqu'à ce que l'on arrive à une équation à une inconnue, et alors le système des n équations sera transformé en un système équivalent de n équations, contenant, la première les I inconnues , la seconde n — i , la troisième n — 2 , . .. , enfin la dernière une seule inconnue. De cette équation , on déduira la valeur de la dernière inconnue , et en remontant de froche en proche , on trouvera successivement les valeurs de toutes les inconnues.

Appliquons cette méthode à la résolution de quatre équations à quatre inconnues.

X — ay-t" s — 3t«=i,

. 7y— ao: — 45 + iaM = 4,

* 5x+ y — 3z+ tt = 9,

as — X — y + 7M = Ç.

De la première équation throns la valeur de x , subslitnoQs-la dans toutes les autres et simplifions , nous transformerons le système des équations proposées en un autre

^valent

a;=i + ay — z-J-3w,

i%\ / 3y — ar-t- 6u = 6,

De la seconde équation de ce second système, tirons la *deur de y et substituons-la dans les deux suivantes , nous obeDons le troisième système

iOO LIVRE H. — CHAP. I.

Si de la troisième équation de ce troisième système nous tirons la valeur de z pour la substituer dans la dernière équation , nous arriverons enfin au système

En remontant de proche en proche , on trouve 21=1, s = 3, y^^t x=5.

Exemples.

95. Dans un grand nombre de cas, on abrège beaucoup les calculs en dirigeant convenablement les substitutions. I ° Résoudre les cinq équations à cinq inconnues

y + aar= 4,

On tire de la première

de la seconde, en y remplaçant y par sa valeur,

- = 6x — 5 ; delà troisième, en y remplaçant z par sa valeur,

w = a8 — 243:; de la quatrième, en y remplaçant u par sa valeur,

t;= 1200? — ii5.

Les quatre inconnues j/, s, w, i\ sont exprimées ainsi an moyen de x\ si l'on substitue ces valeurs dans la cinquième

ÉQUATIONS DU PREMIER DBGRÉ. 101

équation , on obtiendra une équation à une seule inconnue

d'où

En portant cette valeur de x dans les expressions précédentes, on trouve

a* Résoudre les quatre équations à quatre inconnues

a;+ 55 = 39, 3y — aa?+tt=5, 4u — 35= i3, ÎF— 75^ — 2^ = 8.

Si de la première et de la troisième on tire

et que l'on substitue ces valeurs dans les deux autres , on aura denx équations à deux inconnues

i2y + 435 = iï39,

Si de la première de ces deux équations on tire

et que Ton substitue dans la seconde , on obtient une équation à une inconnue

2575=1285, , d'où

En portant cette valenr dans les expressions précédentes, on trouve

y =2, H = 7, or =4.

lOS UVRB II. — CHAP. I.