JU
10& LIVRE II. — CHIP. 1,
4** Résoudre les quatre équations
y -j- 25 + 3w + ^x = bf
z + aw + 3x + 42/ ==^>
En ajoutant ces quatre équations, on obtient une équation
105?+ loy-j- 105+ iow = a+6 + e+df,
qui donne la somme des quatre inconnues
a + ô + e + df x + y + 5 + w = — ! ! ■ — .
Pour abréger, nous désignerons par la lettre m le second membre qui est connu.
En retranchant la seconde équation de la première, la troisième de la seconde , la quatrième de la troisième, la * première de la quatrième, on obtient les équations
y+5 + M — 5x^=a — by z + u+ar — ^y=à — c, î« + a; + y — 3z = c — d, a:+y+ z — 3m = d — a.
Mais nous avons trouvé
Si donc de cette dernière équation on retranche chacune des précédentes, on obtient les valeurs des inconnues
il =
ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ
97. La méthode dont nous venons de faire quelques ai>plkations repose sur le théorème suivant, dont on se sert fréquemment en mathématiques.
Théorème III. Étant données plusieun équations^ on peut nmplacer Vune dC elles par Vj^puition obtenue en ajoutant au Tttranehant les équations proposées membre à membre.
Considérons d'abord deux équations
que l'on peut toujours mettre sous cette forme en faisant peser tous les termes dans le premier membre. Si on les ajoute membre à membre, on forme une nouvelle équation (5) A + B=o,
qni peut remplacer Time des équations combinées, par exemple la deuxième, et le système des deux équations
aéra équivalent au système des deux équations proposées. ËQ effet, si, pour de certaines valeurs des inconnues, les équations (i) et (2) sont satisfaites , l'équation (3) le sera 9Qssi ; car, les deux quantités A et B devenant nulles, leur somme A + B est aussi nulle. Réciproquement , si les deux équations (1) et (3) sont satisfaites, l'équation (2) le sera aussi ; car la sonune A + B étant nulle, ainsi que la pre-* mière partie A, il est nécessaire que la seconde partie B le soit aussi. Les deux systèmes , admettant les mêmes solutbns, sont équivalents.
De même si, au lieu d'ajouter, on retranche les équations membre à membre, on obtient un système
A = Oy
A— B = o, équivalent au système proposé.
106 LITRK Ih — GEUF* U
98. Corollaire. Avant d'ajouter ou de retntncher k équations proposées, on peut multiplier les deux memten de chacune d'elles par un nombre arbitraire; car on a« que, lorsqu'on multiplie tous les termes d'une équation pi un même nombre, l'équation reste équivalente à elle^mônM Si donc, avant d'ajouter, nous multiplions la première éqm tion par m, la seconde par n, nous obtiendrona le syatta
A= o, mk -|- nB = o,
équivalent au système proposé.
Ceci donne le moyen d'éliminer une inconnue entre dan éqMims ; il suffit pour cela de multiplier le» deux équi ticnid par des nombres tels, que les deux coefficients de l'in connue qu'on veut éliminer deviennent égaux entre eui; puis d'ajouter ou retrancher suivant qu'ils ont de^ ei^ contraires ou le même signe.
Soient, par exemple, les deux équations
lia? — 3y=io,
Si nous multiplions la première par d» la seconde par S, cf deux équations deviennent
Si msûntenant on ajoute membre à membre , l'inconnue disparaît, et Ton obtient une équation à une inconnue
d'où
En remplaçant x par sa valeur dans Tune des deux éqaatioE
proposées, et résolvant par rapport à y, on trouve y =4«
Ce procédé d'élimination, que l'on appelle méthode de ra
duetwn au même coefficient, rtowt toujours quand en wnik
ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ
|£e la première équation par le coefficient de l'inconnue qu'on veut élinûner dans la seconde équation, et la seconde équation par le coefficient de la même inconnue dans la première; car, après cette opération, Finconnue dont il s'apt a dans les deux équations un coefficient égal au produit des deux coefficients primitifs. Mais il suffira, ri Ton aperfoit aisément le plus petit multiple des deux coefficients, de nndre ces deux coefficients égaux à ce plus petit multiple. Soient les deux équations
Qd voit de suite que les deux coefficients de x ont pour pbs petit multiple i a ; pour éliminer or, on multipliera la lumière équation par 3, la seconde par a ; les deux équalioDS deviennent
laa?— aôy = 34- Poison retranchera la seCbnde équation de la première, ce
qoi donne
Ed portant cette valeur de y dans la première équation et lésolvant, on trouve a? = 5.
M. Le théorème que nous avons démontré s'étend sans ffifficTilté à un nombre quelconque d'équations. Soient les trois équations
Si on les ajoute membre à membre ^ on forme une nouvelle
équation
108 LIVRE II. — GHàP. I.
qui peut remplacer Tudc des éguations combin exemple la troisième ; et l'on obtient ainsi un syst
équivalent au système proposé.
Il est évident en effet que, lorsque les trois équal (a) , (3) sont satisfaites, l'équation (4) l'est aussi réciproquement, lorsque les équations (1), (2), satisfaites, l'équation (3) l'est aussi.
mSPU^ATION DES VALEURS NÉGATIVES DANS LES PROBLÈMES. -. USAGE ET CALCUL DES QUANTITÉS NÉGATIVES.
100. Nous avons dit (n* 33) qu'un polynôme indique one série d'additions et de soustractions à effectuer, et BGos avons appelé quantités positives les quantités à ajouter, ^tités négatives les quantités à retrancher. Un polynôme se résumant finalement en une quantité à ajouter ou à retrancher, il a dans le premier cas une valeur positive, dans le second cas une valeur négative.
Nons avons généralisé les opérations algébriques de ma« Dière à les appliquer indistinctement aux polynômes, soit positifs, soit négatifs, et nous avons étendu les mêmes rtgles ou définitions aux termes considérés isolément , ce çii permet dans les calculs de remplacer les polynômes par kiirs valeurs. Il est résulté de là un perfectionnement nobble dans le mécanisme du calcul et dans la transformation te expressions algébriques, en ce sens que toute restricfioo a disparu, et qu'il n'y a pas à s'inquiéter de savoir si les polynômes sur lesquels on opère sont positifs ou négatifs.
La considération des quantités positives ou négatives n'est pas moins utile dans la résolution des problèmes. Elle permet, comme nous allons le voir, de comprendre dans les mêmes équations, et par suite dans les mêmes formules, tes différents cas d'une même question.
1<>1. Pboblème I. Un mobile^ partant d'un point donner
