hftî/=5îi
De même Sa? et 5y sont les quantités d'eau versées par les deux sources en 5 heures et en 5 heures ; le second réservoir ayant été rempli de cette façon , on a la seconde équation
Pour râAPwUn c^ deux équations, tirons de la première la
valeur de y, comme si x était comiue, ce qm donne
et substituons cette valeur à la place de y dans la seconde équation, nour aurons l'équation
qui ne renferme plus qu'une seule inconnue x. Si l'on midtiplie par 5 le numérateur de la fraction, cette
équation devient
Zx + 2 = aa;
en chassant le dénominateur et résolvant, on trouve
Pour avoir ensuite la valeur de y, on remplacera x par
sa valeur — dans l'équation
ce qui donne
On vérifierait que les nombres fractionnaires — et — ,
^ ag ag
mis à la place de a; et y satisfont bien aux deux équations du*problème. Si l'on réduit en décimales, on trouve que les deux sources dépensent par heure, la première i586 litres, la seconde 3448 litres, en négligeant les fractions de litre.
Résolution de deux équations à deux inconnues.
21. Remarquons la méthode que nous avons suivie pour résoudre deux équations à deux inconnues* Nous avons tiré
de Tune des équations la valeur de l'une des inconnues, par exemple de y, comme si l'autre x était connue, et nous ayons substitué cette valeur dans l'autre équation; nous ayons obtenu de la sorte une équation à une seule inconnue X, que nous avons résolue par le procédé ordinaire.
Appliquons encore cette méthode à quelques exemples. Soient les deux équations
De la première, en faisant passer le terme 3y dans le second menibre, le terme i4 dans le premier, et divisant par 3. on tire
5x — là
Substituons cette valeur à la place de y dans la seconde équation, nous aurons l'équation à une inconnue
Ici le diviseur 3 disparaît, à cause du multiplicateur 6, et l'équation devient
yx + a(5a: — i4) = 4o,
ou
yx 4" loa? — a8 = ^o;
d'où
ar= 4.
En portant cette valeur de x dans l'équation
on trouve
VérificaHon. Ces deux valeurs 4 et 2 , mises à la place de X et de y, renrlent les deux premiers membres des équa-
22 limOBUCTION.
tkfùs proposées égaux reispeotiTomeiit à 14 et à 404 M léd équations sont satisfûtes.
Soient encore lee deux équations
De la première , résolue par rapport à y, nous tirons
Si, afin d'éviter le signe — ^ devant le terme en y dans la seconde équation, on fait passer ce terme dans le second membrOf cette équation devient
en substituant à la place de y sa valeur déduite de Ih première équation, on a
On peut simplifier en divisant par 3 le numérateur et le dénominateur de la fraction, ce qui donne
, 5(i3x— 17) iia:*=7+-i — g ^%
ou
. 65a:— 85 ilx=7H 3 .
Multiplions par 3, l'équatiOn devient
5Zx=2i + 65a: — 85; d'où l'on tiFe
Cette valeur, portée dans Féqtiation
donne
Nous yerrons plus tard que la précaution qtte dOiift avons
prise de faire passer le terme i5y diuis le second membre^ afin d'éviter le eigoe --^, n'est pas nécessaire*
22. Problème XVI. On a formé trois mélanges dé ftommu de seigle et éCorge. Le premier contient lo mesures de froment ^ 3o de seigle et 20 d'orge» Il revient à sSo francs. Le second contient 12 mesures de froment ,, li de seigle, et 6 d'orge; il rement à i38 francs. Le troisième contient 4 mesures de froment^ 10 de seigle et 5 d'orge, et revient à 75 francs. Quel e$t le prix de la mesure de froment, de seigle et d'orge?
Appelons x, y, z, le prix d'une mesure de chaque denrée. Une mesure de froment valant x francs , 1 o mesures vaudront 10 fois plus, c'est-à-dire 10a?* aînsî la quantité de froment contenue dans le premier mélange coûtera 1 ox ; de même la quantité de seigle coûtera Soi/, la quantité d'orge 2oz; conune le mélange coûte 23o francs, on a l'équation
lo^p + 5oy + ao2 = a3o.
On obtiendra de même les équations
1111)+ i5y + 63= i38> 4x + \oy -(- 5z = 75.
Nous remarquons d'abord que Von peut simplifier la première équation en divisant tous ses termes par 10, et la seconde en divisant tous ses termes par 3, de sorte que ces trois équations s* écrivent
x + 3y + az = 23, 4a? + 5y + 2:s = 46, kx + loy + 5i = 75.
Il s'agit de résoudre ces trois équations à trois inconnues. La méthode est la même que celle que nous avons suivie pour deux équations à deux inconnues. De la première équation résolue par rapport à x, comme si l'on connaissait y et^S, on tiré
m hNTRODUCTlOM.
Si nous mettons à la place de x cette valeur dans les deux
autres équations, nous obtiendrons deux équations à deux
inconnues
4(a5 — 3y— az)+ 5y + 35 = 46,
4(a5 — 3y — az) + loy + 5s = 75.
Ces équations , simplifiées , s'écrivent
ay + 3z = i7.
De la dernière . nous tirons
substituant dans la précédente, nous avons une équation à une inconnue
plus simplement
7y + a(i7— ay)==46; d'où
En portant cette valeur de y dans l'équation
17 — ay
on trouve
En portant ces valeurs de y et de z dans l'équation
a? = a3 — 3y — az, on trouve enfin
Ainsi la mesure de froment coûte 5 francs , celle de seigle 4 francs, celle d'orge 3 francs.
emploi des lettres comme moyen de généralisation.
23. Nous avons expliqué la formation d'une écriture abrégée qui facilite beaucoup le raisonnement et qui con-
I^TUODUCTION. 25
stitue, en quelque sorte, la langue des mathématiques. Elle présente im autre avantage non moins important, qui est de généraliser la solution des problèmes. Il suffit, pour cela, de représenter par des lettres, non-seulement les quantités inconnues , mais encore les quantités connues , et nous avons déjà dit qu'afin d'éviter la confusion on se sert des premières lettres de l'alphabet pour les quantités connues , des dernières pour les quantités inconnues. De cette manière les raisonnements porteront non plus sur des nombres particuliers, mais sur des quantités quelconques, et Ton résoudra ainsi , à la fois , toutes les questions de même espèce. Quelques exemples feront bien comprendre cette nouvelle propriété de l'algèbre.
24. Reprenons le problème I. Partager 5o francs entre trois personnes , de manière que la première ait 6 fraiïcs de plus que la seconde , la seconde 4 francs de plus que la troisième.
Nommant x la troisième part, nous avons dit que les deux autres parts sont exprimées par ap + 4 etap+4 + 6; écrivant que la somme des trois parts est égale à 5o, nous avons obtenu l'équation
que nous avons résolue, et d'où nous avons déduit
x= la.
Si l'on change les nombres qui entrent dans l'énoncé du problème, si l'on demande, par exemple, de partager 64 francs entre trois personnes , de manière que la première ait 5 francs de plus que la seconde , la seconde 7 francs de plus que la troisième, il est clair qu'il faudra recommencer exactement les mêmes raisonnements.
Ainsi , nommant la troisième part x,
la seconde sera ^ + 7»
la première « + 7 + 5.
26 ItltftODtJCTlO?!.
Écrivant qttd h scnnmé dés trois parts est égale au nombre à partager 04^ m aura rëquation
que Von résoudra de la même manière, et d*où Ton déduira
On a dû naturellement se demander si l'on ne pourrait pas résoudre à la fois toutes les questions de ce genre , de manière qu'on ne soit pas obligé de recommencer les mêmes raisonnements dans cbaque exemple particulier* Or, ced est bien facile. Représentons par la lettre a la sonmie à partager^ par b l'excès de la première part sur la seconde, par c l'excès de la seconde sur la troisième, et raisonnons sur ces lettres comme sur des nombres donnés.
Nommant la troisième part x,
la seconde sera .... * ^+<^f
la première aî + c + 6.
Écrivant que la somme des trois parts est égale au nombre À partager a, nous aurons l'équation
3fl? -|- îic + * ^= ^ Retranchons des deux membres les quantités b ût bo« l'é^ quation devient
divisant par 3, nous trouvons
C'est là ce qu'on appelle une formule* Elle indique quelles (opérations il faut effectuer sur les quantités connues pour en déduire la Valeur de l'inconnue. Cette formule dit que pour trouver la troisième part» il faut, du nombre à partager a , retrancher l'excès 6 de la première part sur la seconde et deux fois l'excès c de la seconde sur la troisième! puis diviser le résultat par 3.
intuoDUcrtoN. 87
Qaand on veut appliquer à lin etemplë^ cm ttstoplftce dans la formule les lettres par letifs Yttletira partictilièfes 6t l'on effectue les calculs. Ainsi, dans le premier exemple, on fera a=5o, 6=6, c=x^; la formule donne
^ 5o— 6— 4Xa,
X *' " ■ tilt*, la II 11 1 la I *
d*où, en effectuant les calculs,
a:=ia.
C'est bien la valeur trouvée direotemelit«
26« GénéralitK)iifl dd la même matulèfe Id problème VIIl, et pour oelà représetitona par a la distance des deut villes, par 6 la vitesse du premier courrier, c'est-à-dire le nombre de lieues qu'il parcourt en une heure , par c la vitesse du second. Nous prendrons encore potir inconnue le temps pendant lequel marchent les deux coturiers jusqu'à leur rencontre. Nommons x ce temps. Le premier courrier, faisant 6 lieues à l'heure , parcourra en x heures bx lieues ; le second, faisant c Ueues à l'heure, parcourra, dans le même temps , ex lieues. Mais la somme des chemins parcourus par les deux courriers doit être égale à la distance totale a lieues. Nous avons donc l'équation
bx-^cx = a, que l'on peut écrire
la parenthèse indiquant que la quantité b-^c est multipliée par X. En divisant les deux membres de l'équation par6-f ^9 on a
Cette formule dit que, pour trouver aprèe eottibien d'heures a lieu la rencontre, il faut diviser la distance dès deux pointe de départ par la somme des chemlus que parcourent les deux courriers en une beun?.
On l'appliquera à l'exemple considéré, en faisant a = i oo, &=3, c=s, ce qui donne
X = ■ = = ao.
26* Généralisons encore le problème YII, que nous poserons ainsi : l'âge d'un père est a années, l'âge du fils 6. Dans combien de temps l'âge du père sera-t-il n fois l'âge du fils?
Désignons par x le nombre d'années cherché. Après ce temps l'âge du père sera a-f a;, l'âge du fils 6 -f a:. Gomme l'âge du père doit être n fois l'âge du fils, on a l'équation
ou
a -f â; = ni »{- nx.
•Par la transposition des termes, cette équation devient
a — ni = nx — x^
ou
a — n* = xxln— i);
d'où l'on déduit
a — nA
Si l'on applique à l'exemple considéré, on fera a=4o, 6 = 1 o, n =3 ; la formule donne
27. Cette introduction suffit , je pense , pour faire comprendre au lecteur le but de l'algèbre, et lui donner une idée de la méthode à laquelle les mathématiciens ont donné le nom d'ona/yse. Elle offre d'ailleur9 l'avantage de mettre les commençants en état de résoudre immédiatement un grand nombre de questions ; nous en proposons ici quelquesrunes comme exercices. Nous allons mûntenant revenir
sur nos pas et exposer en détail et avec ordre le mécanisme du calcul algébrique.
Questions à résoudre.
Problème XVII. Trois personnes ont ensemble 112 ans; la deuxième a 8 ans de plus que la plus jeune ; la troisième a autant que les deux autres. Quel est l'âge de chacune d'eUes?
Réponse. La plus jeune a 24 ans, la deuxième 32, la troisième 56.
Problème XYlII. Faire 55 francs a\ec 16 pièces de 2 et de 5 francs.
Réponse. On prendra 9 pièces de 2 francs et 7 de 5 francs.
Problème XIX. Un bonrnie en arrivant à Paris, a dépensé le premier jour le { de son argent, le second jour le 1 du reste, le troisième jour le J du reste ; il n'a plus alors que 48 francs. Combien avait-il d'argent?
Réponse. 120 francs.
Problème XX. Quelle est la fraction telle que , si l'on ajoute 1 à son numérateur, elle devienne égale à { et si l'on ajoute 1 à son dénominateur, elle devient égale à { ?
Réponse. ~.
Problème XXI. Un bassin est alimenté par deux tuyaux de conduite. Dans une première expérience, le premier ayant été ouvert pendant 4 heures, le second pendant
5 heures, on a obtenu 4o mètres cubes d'eau. Dans une seconde expérience, le premier ayant été ouvert pendant
6 heures, le second pendant 3 heures et demie, on a obtenu 5o mètres cubes. Quelle est la quantité d'eau que chaque tuyau fournit en une heure?
Réponse. Le premier tuyau dépense 6875 litres d'eau par heure, le second 25oo.
30 1MTHQI>UCTI0M.
PftQji[4iM£ XXLh Une peraonne a de» jatooB àam ses d6ia mains. Si elle en passe un de la droitQ àam la gauche , il y en a autant dans les deux mains. Mais si elle en passe un de la gauche dans la droite 9 celle-ci en contient le double.
Réponse. La main droite contient 7 jetons, la gauche 5.
PBQBifÈiis XXIIL Une personne a d^idé dans son testament que sa fortune serait distribuée entre quatre perfMormee» de manière que la deuxième ait deux fois autant que la première, la troisième autant que les deux pre^ mières et la quatrième autant que la deuxième et la troisième. La fortune totale s'élève à iiooo francs. Quelle est
la part de chacune d'elles?
Réponse. La première aura 1000 francs, la deuxième «ooQ» la troisième 5oop et la quatrième ôooo,
ProbUmb XXIY. Trouver le nombre dont le double fyoutô k fi4 surpasse 80 autant que 1 00 surpasse ce nombre.
Rép(m0e, &Q.
Problème XXV, Partager yo en deux parties telle», que 5 fois la plus grande surpasse 7 fois la plus petite de i5.
Répom^, Ces deux parties sont 54 et 2 1 ,
PaoBilM^ XXVlr De deux tonneaux égaux , après avoir tiré de l'un 4^ Utres et de l'autre i5q, il reste deux fois
plus de vin dans le premier que dans le second. Combien chaque tonneau contenaitril de litres?
BiponH. 2&5 litres,
PaoBLlMB XXYII. Un maître ayant proposé 1 2 problèmes à son élève j convient de lui donner $5 centimes pour chaque problème résolu, k la condition que l'élève payera lo centimes pour chaque problème non résolu. Le compte £ût, le maître doit h Télève 1 franc s5 centimes. Combien celui-ci Br-t-il résolu de problèmes?
mpofWf L'^ève a résolu 7 prohlèmBB.
