LIVRE II. — CHAP. U
que lorsqu'on augmente d'une même quantité les deux termes d'une fraction plus grande que l'unité , la fraction diminue ; donc , si le rapport des âges est actuellement plus grand que 3, il arrivera un moment où il sera égal à S; mais s'il est actuellement plus petit que 3, il a été autrefois égal à 3. Ainsi ,1a question présente deux cas bien dû» tincts , suivant que l'époque cherchée est dans l'avenir oci dans le passé. Dans le premier cas il faudra ajouter aux âges actuels un certidn nombre d'années; dans le second cas, en retrancher un certain nombre d'années. Si donc oo désigne par la lettre x ce nombre d'années, affecté du signe + ou du signe — suivant qu'il doit être ajouté on retranché, l'équation
conviendra à tous les cas de la question. On en déduit 1^ formule
A l'inspection de cette formule , on reconnaît en effet que« si a est plus grand que 36, c'est-à-dire si l'âge du père est actuellement plus grand que trois fois l'âge du fils, l'incoii* nue X a une valeur positive, et que, dans le cas contrdre, elle a une valeur négative.
Pour montrer une application de cette formule, supposons' que le père ait 4o ans , le fils i o (n"" 12) . En remplaçant a et 6 par leurs valeurs , on trouve
Cette valeur positive indique qu'il faut ajouter 5 ans aui âges actuels ; ainsi l'âge du père sera dans 5 ans triple de Tàge du fils. Et en effet, à cette époque le père aura 45 anspet le fils i5 , et 45 est bien le triple de i5. •
QUANTITÉS NÉGATIVES. liS
Supposons maintenant que le père ait actuellement 45 ans , ie fils 1 7. La formule donne
Cette valeur négative indique qu'il faut retrancher 3 ans des iges actuels; ainsi Fâge du père était, il y a 3 ans, triple derâge du fils.
lOS. Remarque I. Nous voyons par ce qui précède que ortaines espèces de grandeurs sont susceptibles d'être fionqytées dans deux sens, inverses l'un de l'autre. Ainsi, ftftant d'un point quelconque , on peut marcher sur une igné dans un sens ou dans le sens opposé. On regardera cofome positives les longueurs parcourues dans un sens convenu (par exemple de gauche à droite si la ligne est horizontale), celle portées en sens inverse conune négatives.
On comprend bien la signification de ce double signe sdTectant les longueurs, si Ton imagine un point K très-éloignévers la gauche (voyez n* 101), d'où l'on suppose pour un instant que l'on compte les distances; la distance du nobile à cette origine fictive augmentera si la longueur est ptttoume de gauche à droite, et diminuera si elle l'est en m contraire.
Le temps présente aussi deux sens opposés. Compté à ptrtird'un instant quelconque, si Ton en descend le cours, t'est-irdire si l'on marche vers l'avenir, il sera naturelletet affecté du signe 4- ; au contraire , si l'on remonte vers fe passé, il sera affecté du signe — . En effet, que l'on ima- ^e une origine fictive très-reculée , le temps , compté à Jwtir de cette origine fictive , sera augmenté dans le prevùer cas , diminué dans le second cas. Par exemple , dans h calculs qui se rapportent à notre siècle , les astronomes
«ût coutume de compter le temps à partir du 1" jan-
^ \iùo\ si l'on marche de 10 an» en avant ou en ar-
il A LIVRE II. — CHAP. II.
riëre, on aura un temps représenté par + lo ou par — • i(^ et en effet , en rapportant à l'origine ordinaire qui est b6t9 Coup plus reculée , savoir le commenœment de l'ère duré tienne, on aurait
1800 -|- 10 ou 1800 — 10.
Il en est de même des degrés de température nutiqqill par le thermomètre. Les Français prennent pour ori^ la température de la glace fondante ; c'est là qu'est mar^ le zéro. Au-dessus, les degrés sont positifs, au-âes8dii négatifs. Et en efTet, que l'on imagine une températdilS plus basse que toutes celles que l'on aura à considérât ■ que Ton compte les degrés à partir de ce point; à la glM fondante correspondra un certain nombi'e de degrés mijk température + 5, ou 5 degrés au-dessus de o, sigtdM m -}- 5 ; la température — 5 , ou 5 degrés au-dessous de df signifie m — 5.
10&. Problème III. Un mobile, se mouvant um/bfmAfMH sur une droite avec une vitesse donnée, passe au point Oà^ certain instant. Déterminer sa position à un instaint fiff* conque.
En mécanique , on évalue ordinairement les longueurs fl| mètres, les temps en secondes, et Ton appelle vitesse F^fr pace parcouru par le mobile en ime seconde*
Supposons d'abord que le mobile marche de gauche j droite avec ime vitesse a, et que Ton demande sa poûtjfll t secondes après qu'il a passé au point 0. Le mobile ps|^ courant a mètres par seconde , parcourt 2 a mètres eQ s M coudes, 3a mètres en 3 secondes, en général at mètr^ ^ t secondes ; si donc on appelle x la distance parcourue dll le temps (, on aura l'équation
et cette distance, portée à partir du point 0 vers là ànàb
QUAirriTÉs iiB6A.Tnris. lifi
aoiifl donnera la position M du mobile au moment que Ton
idèfie»
Cette formule ett générale et convient à tous les cas de 1a question , al Ton affecte chaque quantité du signe convenable. On demande la position M du mobile , un temps quelc<mqae après ou avant le moment où le mobile passe au point O ; désgnons par t ce temps , considéré conmie positif dans le premier caSy comme négatif dans le second cas, et par x IftdiitaiiGe OM^ afiectée du signe -f ou du signe — , suivant que le point M'est à droite ou à gauche du point 0. La vitesse a sera elle-même positive ou négative , suivant que le mobile marche à gauche ou à droite ou en sens contraire ; car, a Ton imagine les distances comptées à partir d'un point K très-éloigné vers la gauche, l'espace parcouru en une secrade I ou la vitesse , s'ajoutera dans le premier cas et se leiniicfaera dans le second cas. Concevons maintenant que FoD compte le temps à partir d'une épocpie suffisamment rscolée, et soit G la position du mobile à cet instant (si la ntesse est positive , le point 6 est très-loin vers la gauche ; s elle est négative « il est au contraire très-loin vers la droite) . Nous pouvons toujours supposer le point K, origine fictive des distancée, situé à gauche du point G, et nous appellerons «kdistance KG. Désignons parole temps qui s'écoule depuis forigôie fictive des temps, c'est-à-dire depuis le moment ob le mobile est en G, jusqu'au moment où il passe au point 0 ; l'espace GO, parcouru pendant ce temps et affecté da signe convenable, est a«. Le temps qui s'écoule depuis cette même origine jusqu'au moment où le mobile vient en M, sera représenté par « + ^ ©t l'espace parcouru GM , affecté du signe convenable, par a(« -f- 1). Supposons que le mo- Kle parte du point G , et parcoure successivement les che-
116 LITRE II. — CBkV. n.
mins a» et x^ ce qui Tamène au point 0 , puis an point H , sera finalement à une distance du point K marquée p m+aoi+x. Mais, le mobile arrivant au point M après le tem a + f , et par conséquent après avoir parcouru l'espa a{oL + t) k partir du point G , sa distance au point K i exprimée aussi par m +<»(«+ 0 ; on a donc Téquationgénén
ou , plus simplement ,
x = at.
Voici quelques applications de cette formule ;
l '^ Le mobile se meut de gauche à droite avec une vit» de i o mètres par seconde ; on demande où il sera 6 seconc après avoir passé au point 0. On fera a = + lo , < = + ce qui donne a; = -\-6o. Ainsi le mobile sera à 6o mèti h, droite du point 0, ce qui est évident à priori , puisque mobile marche vers la droite.
«** Le mobile se meut de gauche à droite avec une vit« de 1 o mètres par seconde ; on demande où il était 6 seconc avantd'arriver au point 0. On fera a =2 4-10, 1= — 6,d xr=: — 60. Ainsi le mobile était à 60 mètres àgauche du point ce qui est évident puisque lemobile vient de la gauche.
5® Le mobile se meut de droite à gauche avec une vitei de 1 o mètres par seconde ; on demande où il sera 6 seconi après avoir passé au point 0. On fera a = — 10 , t = + ce qui donne x=> — 60. Ainsi le mobile sera à 60 met à gauche du point 0; ce qui est évident, puisque léB bile marche vers la gauche.
4' Le mobile se meut de droite à gauche avec une vitei de 1 o mètres par seconde ; on demande où il était 6 secom avant d'arriver au point 0. On fera a = — 10, t = — 6; qui donne x= + 60. Ainsi le mobile était à 60 mètra droite du point 0, ce qui est évident, puisqueMe mob vient de la droite.
NANTITES NÉGAT1YI8. 117
105. PaoBitUfi lY. Detuo mobiles , se iini>uwnt uniforme^ meni sur une même droite ^ passent au même instant^ le premier au point A, le deuxième au point B. On connaît la vUesse de chacun d'eux. Trouver la position du point de meonire de ces deux mobiles.
Cette question présente plusieurs cas difTérentSt suivant que les mobiles se meuvent dans un sens ou dans l'autre, et que la vitesse du premier est plus grande ou moins grande que celle du deuxième.
Supposons d'abord que les deux mobiles marchent tous deux de gauche à droite, et que le premier, celui qui est à droite au point A, aille moins vite que le deuxième qui est enB,
La rencontre aura évidenunent lieu en un certain point M
i droite du point A. Appelons a la vitesse du premier mo-
Ue, b celle du second, d la distance BA, t le temps in-
cwum après lequel aura lieu la rencontre , x et y les dis-
bnces AM et BM des points A et B au point de rencontre M.
ie premier mobile , parcourant a mètres par seconde , par-
^urra at mètres en ( secondes ; on a donc l'équation
(i) x^=zat;
^ même, le deuxième mobile, parcourante mètres par seconde, parcourra bt mètres en t secondes, et l'on aiu'a
(a) !/ = ÔL
Mais la distance BM ou y devant être égale à BA plus AM , on a la troisième équation
(3) y=zd + x.
On a ainsi trois équations à trois inconnues (, x, t/, que ^'oQ résoudra en substituant dans la troisième les valeurs
118 UfM II. — C8AV. II.
de a; et de y données par les deux autres. On en déâaH formules suivantes
ad è—a'
bd b—a
Il est aisé de voir que ces trois équations, et par suite '. formules qui en résultent, conviennent à tous les cas de cpiestion , sî l'on affecte chaque quantité du signé convenab D*après ce que nous avons dit précédemment , la vitesse chacun des mobiles sera regardée comme positive ou në^ tive suivant que ce mobile marchera de gauche à droite en sens contraire ; les distances x et y, comptées à partir c points A et B , seront positives ou iiégatives , selon qu'ôl seront portées vers la droite ou vers la gauche , le temi est lui-même positif ou négatif suivant que la rencontlr lieu après ou avant ïe moment où les deux mobiles pas» aux points A et B. De cette manière , et en vertu de là I mule établie dans le numéro précédent, on voit que les éq tions (i) et (2) conviennent à tous les cas de la question en est de même de l'équation (3), si Ton remarque qi. partant du point B on arrive au même point M , soit en j courant la distance y, soit en parcourant successivement distances d et x,
106. Pour achever de familiariser les élèves avec Vxm prétation des quantités positives ou négatives « nous ail faire encore quelques applications de ces formules. Sup sons la distance BA égale à 1 2 o mètres , c'est-à-dire d == 1
r Les m^ilco marchent tous deux de gauche à dro le premiet «véc une vitesse de 6 mètres par seomide 4
Ouautités négatives. 110
JnixièDie avec une vitesse de lo mètres. On fera a = + 6, i= -f 10 , ce qui donne
f=:-^5o, x=i8o, y = 3oo.
Aina, la rencontre aura lieu après 3o secondes, à droite, et à i8o mètres du point A. C'est le cas que nous avons exanÛDé d'abord.
8* Les mobiles marchent tous deux de gauche à droite ; le premier avec une vitesse de 6 mètres par seconde , le deuxième avec une vitesse de 4 mètres. On fera a = -f 6 , 1= -f 4 * ce qui donne
lao
lins la rencontre a eu lieu il y a 60 secondes, à gauche, et iî4o mètres du point B. On voit en effet que le premier oounier allant plus vite que le deuxième a dû le dépasser 01 un certain point situé à gauche du point B.
S* Le premier mobile marche de droite à gauche avec oœ yitesse de 3 mètres par seconde , le deuxième marche de gauche à droite avec une vitesse de 5 mètres. On fera «= — 3,6= + 5,cequi donne
Ain» , la rencontre aura lieu entre les points A et B ; ce qui C8t évident à priori^ puisque les deux mobiles marchent à Il rencontre l'un de l'autre.
107. Remarque IL Les exemples précédents montrent combien U est utile de représenter par les mêmes lettres des quantités tantôt positives, tantôt négatives, suivant les fiffirents cas de la question que Ton traite. Cette extension donnée à la signification des lettres ne changent rien au laicanisme des opérations algébriques ni aux transformatioQs servant à la résolution des équations. Voici comment
on peut se convûncre de cette vérité importante.
