LIVRE II. — CHAP. II
parcourt sur une droite successivement plttëieurs longueurs données. On demande à quelle distance il se trouve finalement du point de départ.
La question présente plusieurs cas différents, suivant que chacune des longueurs est parcourue dans un sens ou dans Fautre. Lorsque toutes les longueurs sont parcourues dans la même sens à la suite les unes des autres, elles s'ajoutent évidemment; si donc on appelle a, 6, c, d, ces diverses longueurs que, pour préciser, nous supposerons au nombre de quatre , et x la distance à laquelle le mobile se trouve finalement du point de départ, on aura la formule
Grâce à la considération des quantités positives ou négar tives, cette formule peut être étendue à tous les autres cas. En effet, soit 0 le point de départ du mobile sur la droite donnée ; imaginons un point K situé très-loin sur la gauclie» à une distance arbitraire très-grande m du point 0 ,
et supposons pour un instant que l'on compte les distances à partir de ce point K. Au moment où le mobile part du point 0 , il est à là distance m du point K ; il parcourt ensuite des longueurs données dans un sens ou dans l'autre ; il est clair que chaque longueur parcourue de gauche à droite, l'éloignant du point K, devra être ajoutée, et par conséquent regardée comme positive , et que chaque longueur parcourue en sens contraire , c'est-à-dire de droite à gauche, le rapprochant du point K, devra être retranchée, et par conséquent regardée comme négative. Si donc on représente par les lettres a, 6, c, d, les longueurs données, affectées chacune du signe -|- ou du signe — , suivant qu'elle est parcourue de gauche à droite ou en sens contndre, on
ODAnnTiS IftGATIflS. 111
fat foniinto générale
qui s'écrit plus simplement
Lsnqne le polynteie aura une valeur positive, la distanceâ^v devant èbte ajoutée à m » sera comptée à partir du point 0 veis la droite ; lorscpie le polynôme aura une valeiu* négalîve» la distance x, devant être retranchée de m, sera comptée à partir du point 0 vers la gauche.
Su}qp06ons, par exemple, que le mobile parcoure une première longueur OÂ de 5 mètres de gauche à droite , une seconde AB de 3 mètres en sens contraire, une troisième BG de 4 mètres de gauche à droite , et enfin une quatrième CD de 8 mètres en sens inverse ; affectant chacune d'elles du signe convenable , on fera
a= + 5, ô=— 3, c== + 4, rf=— 8.
La formule générale indique qu'il faut faire la somme algébrique des quantités représentées par les lettres a, i, c, d; or, on sait que l'addition algébrique consiste à écrire les quantités avec leurs signes; on aura donc, en remplaçant les lettres par leurs valeurs ,
ar=:5— 5 + 4 — 8 = — a.
Cette valeur — 2 signifie qu'il faut de la distance m retrancher 2 mètres; ainsi le point d'arrivée D sera à 2 mètres du point de départ 0 vers la gauche.
102. Problème II. On connaît Vâge d'un père et celui de Mon fiU^ et ton demande à quelle époque Vâge du père sera ou a été triple de Vâge du fils.
Appelons a l'âge actuel du père, 6 l'âge du fils, le rap-
• port actuel de l'âge du père à l'âge du fils est ^. On sait
i22 Linil II« — GHAP. u.
tité négative , étant une quantité à retrancher, donnera on résultat d'autant plus petit que sa valeur absolue sera phis grande. Pour fixer les idées , supposons que la lettre x rè^ présente le résultat des opérations d'un négociatit dans le courant de la journée (n"" 33) ; admettons que le négociant ait en caisse , au conunencement de la joiunée, une sonime d'argent suffisamment grande que nous désignerons par m. La fortune du négociant est devenue m + x.îl peut arriver que la somme des dépenses égale celles des recettes, alors la valeur de x est zéro , et la fortune du négociant n'a pas changé. Si la valeur de x est positive , la fortune du négociant augmente d'autant plus que la valeur absolue de x est plus grande. Si la valeur de x est négative , la fortune du négociant diminue d'autant plus que la valeur absolue de x est plus grande. Pour abréger, on fait abstraction de la fortune primitive , et l'on considère une quantité positive comme plus grande que zéro, et d'autant plus grande que sa valeur absolue est plus grande , une quantité négative comme plus petite que zéro, et d'autant plus petite que sa valeur absolue est plus grande. Ainsi , on dit que la quantité— 1 est plus petite que o, la quantité — 2 plus petite que — 1, la quantité — 5 plus petite que — 2 ,*.. cela signifie, je le répète, que m — 1 est plus petite que m, m — 2 plus petite que m — 1, m — 3 plus petite que m — s ,.•.
Cette comparaison des valeurs relatives n'est pas moins évidente dans l'échelle des températiu*es marquées par le thermomètre ; les nombres positifs indiquent des températures supérieures à la température zéro ; les nombres négatifs des températures inférieures ; les températures — 1 , — 2 , — 3 f . . . vont en s' abaissant de plus en plus.
Il en est de môme de toutes les sortes de grandeurs su8cq;)tibles d'être comptées dans deux sens opposés. Nous avoos dé^noiné (n'' lOi) U position d'un mobile M sur une
QUA1ITRÉ8 MiflÂTint. 128
àéiB par w distance à un point fixe 0» en afiRsctant du éffoê + les distances portées vers la droite et du signe — lli distances poHâes en sens eontnLire4 et nous avons appelé X cette distance affectée du signe convenable. Que l'on imagine maintenant un point K très-loin vers la gauche , à une distance m du point O, et que l'on compte les distances à partir de ce point ; la position du mobile sera déterminée par U quantité m + w. Si le mobile , partant du point 0, se iMOt vers la droite t la valeur de x est positive et va en augmentant de même que la distance m + x k l'origine K. Si le mobile marche vers la gauche, la valeur de x négative et ira en augmentant en valeur absolue; maïs la ^Ustance m + x à l'origine fictive K ira en diminuant. Faisant abstraction de la quantité m , on dira que la valeur relative de x augmente dans le premier cas , diminue dans 1b second.
OES mÉGAUTÉS.
100. Les théorèmes que nous avons démontrés sur les ^[alités et les transformations qui en résultent (n"^ 79 à 82) s'appliquent liux inégalités , sauf quelques légères viodifieations«
1* Une inégalité subsiste si à ses deux membres en ajoute une même quantité, ou si de ses deux membres on retranche une même quantité.
Ce que nous venons de dire sur la comparaison des va^ kors relatives des quantités positives ou négatives donne à ce théorème un sens tout à fait général. Soit l'inégalité
des deux membres retranchons 7 , nous aurotts
U en résulte que l'on peut faire passer tiii iêhÉe d'un inembre dans l'antre en changeant son signe.
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Mais il n'est pas permis de changer les signes de tous les termes d'ime inégalité, ou du moins, si on le fait, il faut changer en même temps le sens de Tmégalité. Soit l'inégalité
si on change les signes , on écrira
2* On voit aussi que l'inégalité subsiste si on multiplie ou si on divise les deux membres par un même nombre positif.
Si Ton multipliait ou si l'on divisait par un nombre néga* tif , il faudrait avoir soin de changer le sens de l'inégalité. Car ceci reviendrsdt à multiplier par un nombre positif et à changer les signes.
Ces diverses transformations permettent de résoudre une inégalité comme nous avons résolu une équation. Supposons, par exemple, que la quantité x soit assujettie à satis^ faire à la condition
Si Ton multiplie les deux membres par le nombre positif 24
poiu* faire disparaître les dénominateurs, cette inégalité
devient
21X — 18 > 4 + lOX.
Si madntenant on fait passer les termes inconnus dans le premier membre , les termes connus dans le second , on a
iia:> aa,
et , en divisant par le nombre positif 1 1 ,
Soit encore l'inégalité
QUÂKTITÉ8 IfÉGATIYBS. 125
En faisant passer les termes connus dans le premier membre , les termes inconnus dans le second , on a
iao>5x^ ou
5ar<iao,
et , en divisant par le nombre positif 5 ,
DES CAS d'impossibilité ET D'iNDÉTERHINATIOIf.
Des cas d*impossibilité.
