Du symbole ïinfini. Revenons à Téquation
et supposons que la valeur du coefficient a soit très-petite ; l'inconnue x^ donnée par la formule
sera très-grande en valeur absolue, et, si Ton conçoit que la valeur du coefficient a diminue jusqu'à o* la valeur de x
CAS d'impossibilité. 129
augmentera indéfiniment et deviendra plus grande que toute quantité donnée. Par exemple, si l'on donne au coeffident a successivement les valeurs
10^ lOo' 1000* loooo'
le quotient x prendra les valeurs de plus en plus grandes lob, icoiy loooi^ looooi;
Lorsqu'une quantité augmente ainsi de manière à devenir plus grande que toute quantité donnée, on dit qu'elle devient infinie et on la représente par le signe q», qui a la forme d'un huit renversé.
Quand Fune des inconnues d'un problème se présente sous cette forme, il y a évidemment impossibilité; car ce symbole provient de ce que , dans une équation telle que ox = 6 , le coefficient a de l'inconnue est nul.
Reprenons le problème du n"* 105 , dans le cas où les deux mobiles marchent de gauche à droite, le deuxième allant plus vite que le premier. Si la différence des vitesses 6~a est très-petite, les formules donneront pour les incouiu€3 des valeurs positives très-grandes, ce qui indique que la rencontre aura lieu après un temps très-long, et en on point trës-éloigné vers la droite. Et en effet, le deuxième mobile, marchant avec une vitesse très-peu supérieure à celle du premier, ne l'atteindra qu'après un temps trèslong. Plus la différence des vitesses sera petite, plus le point de rencontre sera éloigné. Enfin , quand les vitesses deviennent égales, le point de rencontre s'éloigne à l'infini; il y a impossibilité de satisfaire aux équations du problème, et en effet, les deux mobiles, marchant également vite, lestent toujours à la même distance l'un de l'autre et ne se leocontrent jamais.
Supposons que le deuxième courrier marche un peu moins
180 LivM .11. •-*- chàp. m.
vite que le premier, les formules donnent pour les inconnues des valeurs négatives très-grandes en valeur absolue ; ce qui indique que la rencontriô ft eu lieu il y a trts^long^ temps , en un point situé très-loin vers la gauche. Plus la différence a — b des vitesses est petite , plus ce point de rencontre est éloigné. Enfin , quand cette différence devient nulle, le point s*éloigne à TinGni vers la gauche, et il y a impossibilité.
113. Remàbque I. Dans les question^ de géôfnétrie, le symbole l'infini indique ordinairement le paralléliàtne de deux di'oites. Proposoûs-nôud , par exenfiple, là gestion suivante :
Étant dônnii deuù^ ctrettifiy on mine ieuûi rayonê paréUHH AC, fiDi ûnjùint Itmrs ètitimUis i déterminer lé pokit M où lu ûrûlte CD tentàntre la Kgnè dti ttntm.
Appelons d et 6 le!» rayons de^ deux cercles, d la diëtatiee deà centres AB, àè la distance inconnue AM. Lés triatlgl<^ semblables MAC , MBD , donnent la proportion
d'où l'on déduit
ud
Quand la différence a — b des rayons est très-petite , la valeur de x est très-grande , et le point M très-éloigné. Si cette différence diminue jusqu'à zéro, le point Ms'< à l'infini, et la droite CD devient parallèle à la droite
CAS d'impossibilité. 131
On voit en effet que, lorsque les cercles sont égaux, la figure ABDG devient un parallélogramme.
IIA. Remarque IL Les solutions négatives des équations ne sont pas toujours admismbles dans la résolution des proiblêmes. Souvent la question est de telle nature que les ioooonues doivent nécessairement être positives ; dans ce ctti si Ton trouve pour les inconnues des valeurs négatives, il y a impossibilité. Cette circonstance se présente dao^ la , question suivante :
Avec deux vins qui coûtent dk etb le litre^ former d litres iun mélange coûtant c le litre.
n est évident à priori que le prix c de chaque litre du mélaDge doit être intermédiaire entre les prix ii et 6 de chaque Utre des deux vins. Appelons a; et y les quantités des deux vins qu*il faut mélanger, nous aurons les équar-
fions (n* 16),
^+ y= dy ax-\-bt/ = cd; d'où l'on déduit
La nature de la question exige évidemment que les deux iDconnues aient des valeurs positives. Nous pouvons toujours supposer a plus grand que 6, c'est-ànlire appeler premier vin le plus cher. Dans les deux formules, le déno- Dûnateur étant positif, il est nécessaire que chacun des numérateurs soit positif, ce qui aura lieu si les deux conditions
Ohj c<a,
sont remplies. Ainsi, pour que la question admette une soiolimi, il faut que le prix du litre du mélange soit intennéentre les prix des deux vins.
132 LivRr. 11. — ciup. m.
Des cas d'indélerminalion.
115. Nous avons dit que l'équation du premier degré à une inconnue peut toujours se mettre sous la forme
aâ? = i,
et nous ayons vu que, lorsque le coefficient a de l'inconnue est nul, sans que le second membre le soit, il y a impossibilité. Supposons maintenant que 6 soit nul en même temps que a, l'équation devient
oXa: = o;
il s'agit de trouver un nombre qui, multiplié par zéro, donne un produit égal à zéro ; tous les nombres satisfont évidenmtient à l'équation, qui se réduit à une identité 0 = 0, et la valeur de l'inconnue est indéterminée* Dans ce cas, la formule donne pour l'inconnue un symbole de la
forme - .
Exemples :
1» Trouver un nombre qui, augmenté de son sixième et de 10, et diminué de sa moitié, égale deux fois son tiers augmenté de 5. Si l'on appelle x ce nombre, on a l'équation
qui, simplifiée, se réduit à r
ax . ax .
ou
Tous les nombres satisfont à la question. 11 y a indétermination.
a* Trouver deux nombres tels que le tiers du premier égale la moitié du second, moins i , et que le second ^ale
CAS D'llfDÉTERMI!<(AT10ll. 138
les deux tiers du premier, plus a. Si Yqn appelle x et y ces deux nombres , on a les deux équations
Ed substituant dans la première la valeur de y donnée par h seconde, on obtient le système équivalent
