A LIVRE 111. — CHAP. II
Les deux termes x* — il^x peuvent être considérés comme les deux premiers termes du carré du binôme x — 7 ; et en effet, le carré de ce binôme est x* — i4^ + 49 ; pour compléter le carré, ajoutons 49 ^ux deux membres de l'équation, nous aurons
a:«— 14x4-49 = 49— 40 = 9, ou
en remplaçant le premier membre par l'expression équivalente {x — 7)'. Cette dernière équation est évidemment équivalente à l'équation proposée.
La quantité x — 7 doit être telle que son carré égale 9 ; or le nombre 3, affecté du signe + ou du signe — , a son carré égal à 9, et c'est le seul nombre dont le carré égale 9 ; on doit donc avoir
d'où
Ainsi l'équation proposée admet les deux solutions
ar = 7 + 3 = 10, x = y — 3= 4.
On peut vérifier en effet que chacun des nombres 10 et49
mis à la place de x, satisfait à l'équation
x^ — i^x + 40 = 0 , c'est-à-dire annule le premier membre.
136. La méthode précédente s'applique sans difficulté à l'équation générale
x* + px -f- j = o.
Si l'on fait passer le terme connu dans le second membre, cette équation devient
Les deux termes «* + px sont les deux premiers termes du
iQUATlOIVS DU SECOND DBCmÉ. 106
caiTé du Innôme x -f- - ; et en effet, si Ton forme le carré de cebindine d'après la loi connue, on a
F(nr compléter le carré, ajoutons ^ aux deux meml)res
deféquation, l'équation deyient
^+p^ + j=^ — q, etpeat être mise sous la forme
jVous supposons que la quantité connue ^. — g est positive. L'équation étant mise sous cette dernière forme, on voit que la quantité inconnue â? + doit être telle que son
carré égde la quantité connue 7- — 9 ; or, si nous désignons par 1/^ q la racine carrée arithmétique du nombre
positif y — ç, c'est-à-dire le nombre positif, commen-
surable ou incommensurable, dont le carré égale -, g ,
la quantité inconnue x -f - doit être égale au nombre y — g, affecté du signe + ou du signe — . On aura
donc
106 LITSE m. — GBAP. U.
d'dù l'on déduit
Telle est la formule générale dont on se sert pour ré are les équations du second degré ; elle donne deux s tions, l'une fournie par le signe + placé devant le rad Tautre par le signe -*•• Il est bon de se la rappeler cœur; on l'énonce ainsi : les deux racines d'une iqut du second degrés mise sous la forme
égalent la moitié du coefficient du terme du premier à changé de signe^ plus ou moins la racine carrée du rés\ obtenu en retranchant du carré de cette moitié le- t connu.
137. Appliquons cette formule à quelques exemples 1 • Résoudre l'équation
La formule donne
L'équation admet les deux solutions
j: = — a, Jî;=:— 4- 2* Résoudre l'équation
La formule donne
aV4 aV4aîi
L'équation admet les deux solutions
•M ' 9 y X «^S Sa
