ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
5r Bésottdre l'équation La formule donne
Uéqoation admet les deux solutions
If Résoudre l'équation
X* — Zx — 4 = û.
Ufomnile donne
les deux solutions a:=+4> ap = — 1,
Racines égales.
138. Dans ce qui précède, après avoir mis l'équation du second d^rë sous la forme
oous avons supposé que le second membre est une quantité positive, et nous en avons déduit la formule
qui nous donne les deux racines, ou les deux solutions de Téquadon.
Lorsque la quantité ^ -«9 est nulle, l'équation devient
168 LITRE in. — CH4P. Il*
Le premier membre est un carré parfait. La qoazitité inconnue X + -^ devant avoir son carré nul, doit être nulle elle-*
même ; ûnsi l'on a
a: + f = o, d'où
L'équation n'admet plus qu'une seule solution x= — -•
Cependant on a coutume de dire que dans ce cas l'éqnartion admet deux racines igcUes. En voici la raison : suppo-
sons que la quantité ~ — q soit positive et très-petite ; les
deux racines, données par la formule générale, différeront
très-peu de — -, l'une en plus, l'autre en moins, et par
conséquent différeront très-peu l'une de l'autre. Plus la
quantité j q sera petite, plus les deux racines se rappro*
cberont l'une de l'autre ; et enfin, à la limite, quand la quan-
tité j q sera nulle, les deux racines deviendront égales
entre elles. •
Racines imaginaires.
139. Les carrés des quantités, soit positives, soit n^atives, étant toujours positifs, il s'ensuit que les quantités négatives n'ont pas de racines carrées. Ainsi, lorsqu'en résolvant ime équation du second degré, on est amené à extraire la racine carrée d'une quantité négative, il y a évidemment impossibilité de satisfaire à l'équation ; dans ce ças^ les formules donnent des valeurs fictives qui ont été
ÉQOATIOItS DU SECOND DEGRÉ. 169
introduites dans l'analyse mathématique sous le nom de quantités imaginaires.
Considérons d'abord l'équation
ar« = A.
Quand la quantité Â est positive, l'équation admet les deux sdutioDs
Hais quand la quantité Â est négative, comme il n'existe aocan nombre, soit positif, soit négatif, dont le carré égale A, il y a impossibilité de satisfaire à l'équation. Cependant la fonnule donne des valeurs imaginaires qui satisfont également à l'équation, si l'on convient de regarder le symbole
^ comme ayant son carré toujours égal à Â, quelle que sdt la valeur de A, positive ou négative. Ainsi on dira que l'équation
ar* = — 1 admet les deux solutions imaginaires
On représente ordinairement par la lettre t le symbole
^— 1 , et l'on introduit la lettre i dans les calculs, conune â elle représentait une quantité réelle, en convenant que son carré t* égale — i.
Toutes les valeurs imaginaires peuvent être exprimées au
moyen du symbole ^ — i ou de la lettre t. Par exemple,
Téquation
admet les deux solutions ima^sdres
Si Ton observe que — 9=9x(— Oetsi l'on applique
170 Lmii m. — GHAP. II.
le théorème ordinaire sur la racine d'un produit, (m écrâ»^^
d'où
Considérons maintenant l'équation
a?* — 6x+ i5 = o, qui se met sons la forme
(dî— 3)« = — 4.
Un carré ne pouvant être égal à la quantité négative — 4 il est impossible de satisfaire à l'équation par des valeur^ réelles. Hais, en extrayant la racine, on est conduit aux vi^— « leurs imaginaires
tf OÙ •
en observant que \/ — 4 = v^Xv^— 1 =^ ai, on les écrinu n en est de même de l'équation générale
toutes les fois que la quantité ~ q est négative. Car, cette
équation étant mise sous la forme
on voit qu'il y a impossibilité d'y satisfaire par des valeurs réelles ; mais on obtient les valeurs imaginaires
+^^Vî^'
qui satisfont à l'équation, en convenant, comme nous IV
ÉQUÀTlOlfS DU SECOND DB6RÉ.
msdit déjàt (jae le carré du symbole %/^ — q égale
^ - 9 dans tous les cas. II en résulte pourâ? les deuxvar-
karsimaginaîres
Ces deux valeurs sont ramenées à la forme a àz M, en iqirésentant par a et b les deux quantités réelles — - et
OQ
liO. Ainsi les quantités tmagtnatres sont des expressions delaforine
dans laquelle les lettres a et 6 représentent des quantités réelles quelconques (par opposition, on dit que les quantités ordinaires, positives ou négatives, sont réelles). On a étendu aux quantités imaginaires les règles ordinaires du calcul algébrique, comme si la lettre i désignait ime quantité réelle, en convenant de remplacer dans les résultats i' par — 1* En résumant ce qui précède^ on voit que Féquation
présente trois cas principaux :
i"* Lorsque la quantité ~ q est positive, l'équation a ses
deux racines rtelUs et inégales.
172 LIVRE Ilf. — CH4P. II.
S*" Lorsque la quantité j- — 9 est mXHt^ l'équation a ses
deux racines éjjfales. Ces deux racines égales sont toujoun réelles; cardans ce cas le radical est nul*
S*" Lorsque la quantité ^ — 9 est néjjfottDe, Téquation 1
ses deux racines xmagvMk\rt$.
Résolution de f équation ax' -{- bx + c = o.
lil. Nous avons ramené l'équation générale du second degré
à la forme
X* -|- px -|- J = o,
en divisant tous ses termes par le premier coefficient a, e
posant
Résolvant cette dernière, nous avons trouvé la formule
Si, dans cette formule, nous remplaçons les lettres p et
par leurs valeurs - et - , elle devient ^ a a
aa V 4^* û aa V 4^* ^^
aa
Nous avons réduit au même dénominateur 4^' les deii termes placés sous le radical, et nous avons extrait la tb cine de ce dénominateur, carré parfait. Nous obtenons ainf la formule
aa qui est souvent usitée dans la pratique.
iQUATlOllS DD SBCOND OBGRi. 178
Elle présente les mêmes cas principaux que la formule piimitiye : i* quand b* — l^ac > o, les deux racines sont réelles et inhales; s*quand&* — l^ac = o, les deux racines 9oai ^[ales; quand 6' — l^ac <o, les racines sont imagi-
1&2. Remabque. n arrive souvent que le coefficient h contient le &cteur 9. Dans ce cas, la formule peut être un peu simplifiée, ce qui la rend plus commode dans les applica- -lioiis. Posons b = 9&', la formule devient
— gy db sJW^^^ — ay ±: a ^b'^ — ac aa aa '
et, ai Ton divise par a le numérateur et le dénominateur,
— b'±s/b'* — ac
Soit, par exemple, Téquation
le second coefficient étant un nombre pair, on emploiera la dernière formule, et Ton écrira
7 db v^49 — 59 ^±)/7ô
Décomposition du triihôme x* + P^ + <I ^ facteurs
du premier degré.
US. Soit le trinôme
x^ +pa: + Î5
iwis lequel nous supposerons que la lettre x désigne une grandeur quelconque et tout à fait arbitraire. Si nous ajoutons et si nous retranchons 7-, la valeur du trinôme ne
être considérée comme le carré de \ /^ — a. On a donc
174 LITRE III. — CÉJlP. n.
change pas, et l'égalité
est vrfide, quelle que soit la valeur de x. La prenuëre pa* renthëse est le carré du binôme x +-; la seconde peut f
Le second memJbre, qui est la différence des carrés de deux quantités, égale le produit de la somme de ces deux quantités par leur différence, et se décompose ainsi en deux facteurs du premier degré,
Maôs, si Ton appelle x' et x" les deux racines de l'équadon
ar* + pj; + y=o,
obtenue en égalant le trinôme à zéro, racines données par les formules
on voit que les deux parenthèses ne sont autre chose que les deux différences x — x' eix — à;". Il en résulte que le trinôme proposé peut être mis sous la forme
Cette décomposition du trinôme en deux facteurs du premier degré subsiste dans tous les cas, que les racines soient réelles ou ima^aires*
ÉQUATIOMS DU 8IC01VD DBGBÉ. 175
ApfUeaiiom. CSonsidéronSt par exemple, le trinôme
sc^ — ya? + to.
Im deox racines de Téquation , obtenue en égalant ce trinteie à xéro, sont a/ = s, a/' = 5 ; on a donc
Cette égalité est vraie, quelle que soit la valeur de x. Soit eneore le trinôtte
Les deux racines de l'équation , obtenue en égalant ce trintaie à zéro, sont ccf = — 6, o^' =2. On a donc identiquement, c'est-à-dire quelle que soit la valeur de x^
jr* + 4^ -^ 1 a = (a: + 6) (x — 2 ).
Ihh. La forme la plus générale du polynôme entier du second degré est
OJC* -j- ftx -j- c.
s Ton met le coefficient a en facteur, et si Ton appelle p et 9
6 c les quotients - et -, ce polynôme s'écrit
ax* + bx + c = o(x* + P^ + ?)•
Le polynôme entre parenthèses se décomposant en deux facteursoj — afeix — x", on a l'égalité
OX* + *-P + ^ = «(^ — x') [x — x") ,
qmOe que soit la valeur de x. les lettres x' et a/' désignent les deux racines de l'équation
OU, œ qm est la même chose, de l'équation
176 LIVRB m. — GHAP. II.
Relations entre les coefUdents et les racines de Tiquation
X* + px + q = 0. ^
165. En appelant â?' et x" les deux radnes de réqoatioo ^ nous avons vu que le trinôme
peut être décomposé en deux facteurs du pienûer degré
Si l'on effectue la multiplication indiquée par les parenthèses, on reproduira évidemment le polynôme proposé. Le produit des deux facteurs est
x^ — {af + af')x + a/af\ Pour que ce polynôme soit le même que le polynôme
x* + px+q,
il faut que les coefiScients soient les mêmes de part et d'autre.
On a donc
ar' + jr" =— p,
ar'x" = q.
Telles sont les deux relations fondamentales qui existent entre les racines de l'équation du second degré et les coefficients de l'équation ; nous nous en servirons fréquemment On les énonce sdnsi : (iquation du second degré étant ra^
menée à la forme
x*'\-px'-{'q = 0j
i^ la somme algébrique des deux racines égale le cœffkient de X changé de signe ; 2® leur produit égale le terme connu.
