Remarque L i"" Lorsque, dans l'équation du second degré

le terme connu 9 est négatif, les racines sont toujours réelles

ÉQUATIOm DU SECOND DEGRÉ. 177

et mygales; car, dans ce cas, la quantité y — 9 est es-

seodellement positive. En outre, ces deux racines sont de signes contraires , puisque leur produit est négatif. Ainsi, le terme connu étant négatif, on peut dire à priori

que l'équation

a ses deux racines réelles et de signes contraires. La somme des deux radnes étant égale à — 4 9 1& plus grande en valeur absolue est la racine négative. Et en effet , les deux radnes sont — 6 et + 2 , dont la somme est bien égale à — 4 et le produit à — 13.

9* Lorsque le terme connu est positif, il est nécessaire

d*examiner le signe de la quantité ^ — 9, pour savoir si

les racines sont réelles ou imaginaires. Si cette quantité est positive, les deux racines sont réelles et de même signe, puisque leur produit est positif. La somme des deux racines étant égale à — p, ce signe commun est contraire à celui de p. Soit, par exemple, Téquation

ar* — yjf+ io=î:o.

La quantité ^ — 10 étant positive , les racines sont réelles.

Surproduit étant positif , elles ont même signe. Leur somme étant ^ale à -|- 7» elles sont positives. Et en effet, ces deux ïacines sont + 2 et + 5, dont la somme est + 7 ©t le produit + 10.

Soit encore Téquation

jp* + te 4- 8 =i 0.

U quantité 9 — 8 étant positive, les racines sont réelles. U produit étant positif, elles ont même signe. Leur somme étant égale à — 6, elles sont toutes deux négatives. Et en effet, ces deux racines sont —4 et — a.

1!^8 LIVRÉ m. — CHA^. If.

3"* Loraque le terme connu est tr^petit en valeur abcM le produit des deux racines étant très-petit, l'une d'elles . tessairement une valeur numérique très-petite. Si le t connu tend vers 2éro, cette racine très-petite tendra \ vers zéro. La somme des deux racines étant égale à -^ l'une d'elle étant nulle, l'autre est égale à — p. kû reste, ce cas, la résolution est facile, car l'équation se réduit

et se met sous la f onuQ

k(sû -4<^ p) :i^ g.

On peut annuler ce produit de deux manlèreSi (BU fiils toit a(f±o, soit flps=t-^p.

Exercices, là7. Question i. Résoudre les deux équations

y + 2X = 5, ay' — 5ar* -f loa? = a5.

Si de la première équation on tire la valeur de y,

et qu^on la substitue dans la seconde on arrive à Téqu; du second degré

d*ôù Ton déduit lèâ deux valeurs

En partant successivement diacuae de (ieâ deux val dansi Véqusktiou

on obtient les deux valeurs correspondantes dé f

équâtiohs du second digré* i7d

Uaif ks deux équations proposées admettant les deux

i^folutimi: a?=i, .y = 5^ a* Molution: x = 5, y = — 6.

Ba géoéml « b résolution de deux équations à deux inonuies, Tune du premier degré, l'autre du second degré, estiamenée à la résolution d'une équation du second degré inné inconnue.

U8. Question II. Résoudre les deux équations

xy= i5.

Quand on connaît la somme de deux quantités et leur jiPodait, on voit immédiatement que ces deux quantités SQDt les racines d'une équation du second degré, ayant pour coefficient de la première pidssance de l'inconnue la somme prise avec im signe contraire, et pour terme connu le produit. Dans l'exemple actuel, les valeurs de a; et de y seront les racines de l'équation

u* — Sw+ i5 = o; et en effet , la somme des deux racines est égale à 8 , et le produit à i5. Les deux racines de cette équation étant 3 et 5, on aura

ou

Les deux équations proposées sont symétriques par rap« port aux deux inconnues, c'est-à-dire ne changent pas quand on permute les lettres x et y. Ceci explique pourquoi les valeurs des deux inconnues sont données par la même équation. En effet, si l'on élimine y entre les deux équations proposées « on arrive à l'équation

^• — Sa:-t- i5 = o«

180 LIVRE m. — CHAP. II.

A cause de la symétrie , il est clair que si l'on éliminai au lieu de y, on arriverait nécessairement à la même équst

Ainsi les valeurs des deux inconnues sont données pai même équation du second degré. C'est l'équation que n avons écrite immédiatement.

Ii9. Question III. Résoudre les deux équations

xy = i5.

La première équation n'est pas symétrique par rapi aux lettres x et y ; mais on peut la rendre symétrique posant

car alors les équations deviennent

Les valeurs des deux inconnues x' et y sont données l'équation du second degré

tt* — aw — i5 = o^ dont les racines sont — 3 et -f 5. On a donc

ou

ar'=5, y = — 3.

Ainsi les deux équations proposées admettent les d

solutions