QuEsnoif Y. Résoudre les deux équations
(a) xy = aS.
Si à la première équation on ajoute la seconde multipliée
par 8, il vient
x^ -{' 2xy -{- y* = lai , oa
(x + y)'= lai ; cm déduit de là
(5) ar +y = =*=**•
S de la première équation on retranche la seconde multipliée par deux, il vient de même
a?«— aary + y* = 9, ou
{x — yY = g; on déduit de là
(4) ar — y=d:5.
On connaît ainsi la somme et la différence des deux inconnues; il est aisé de trouver ces deux inconnues; les équations (3) et (4) , ajoutées et retranchées, donnent
dbii±3 ±113:3
Il en résulte les quatre systèmes
181 LIVEB m. — CHAP. II.
qui, en réalité , se réduisent à deux systèmes dé égales et de signes contraires.
152. Question VI. Trouver quatre nombres e portion V connaiiMnt la somme des entrèmes ii des moybns 194 et lA tomm« des leaftM dto term» I^m*
Appelons x, y, z, U les quatre nombres cherché! ayons les quatre équations
(1) ^=7* ou xt=:yz.
{2) X + t ~ ai,
Nous connaissons la somme des deux inconnues x aussi celle des deux inconnues y et z ; la questioi résolue si nous connaissions leur produit commun x
Blevons les équations (a) et (3) au carrée ajoutoi retranchons F équation (4)9 il vient
ou
xi =^yz = go.
Les deux inconnues « et I seront données par Téqui second degré
«• — aiM + go=o,
qui a pour racines 6 et i5 , et les deux inconnues y l'équation du second degré
qui a pour racines 9 et io« Les nombres cherchés se
y = 9, z=io.
iQOAffiom DU iBGOiio ftiMÉ» m
lu. QUMioif VIL Pumtiet uM értAit dtmHM M MimM if wtrim$ rmUm.
, Od nit que partager une drotte AB en moyenne et ÉMdM «tiMH, c'«rt partager cette àïfAib eh deux par* te AH 0t BH| telles que la plu3 grande AM sQit moyenne pportionnelle entre la ligne entière AB et la plus pète M.
Si iôno on appelle a la longueur de la droite AB , et â; ceDe de la plus grande partie AM, la longueur de Tautre prâe sera a — x^ et l'on aura le^^ rapports égaux
p ooMduise&t à Têquation du second degrft M f on tire
La première racine
€it positive et moindre que a (car y^ étant plus petit que 3, yfb'-^ i est plus petit que 2). Elle répond directement à la question proposée et donne la plus grande partie AM de la droite AB partagée en moyenne et extrême raison, n est aisé dé déduire de cette formule la construction géométrique connue. Si au point B on élève une per-
18A LIRRB III. — CUAP. ir.
pendicul^e BG égale à la moitié de AB, Thypoténuse AG
sera égale ^ W û* + y Si, du point G comme œntre,
avec CB pour rayon, on décrit un cercle, la longueur AD
sera égale à AG — GD , c'est-àrdîre à \/ «* + 7- 1
ce sera précisément la racine oi. Il suiQt maintenant deprendre sur AB une longueur AM égale à AD. La seconde racine
est négative et ne répond pas à la question. Gependant iF. est facile de lui donner une interprétation géométrique. T suffit pour cela de modifier l'énoncé du problème de la ma-, nière suivante : Sur la droite indéfinie AB, trouver un pain tel que sa distance au point A soit moyenne proportion — -^ nélle entre la longueur AB et sa dislance au point B. Las^ question ainsi posée admet deax solutions ; car, outre h point M que nous venons de déterminer, il existe vers gauche un point M' tel que la distance M'A est moyenn< proportionnelle entre AB et M'B ; à cette seconde solutioi correspond la racine négative x" qui, devant être portée sens inverse de la première , c'est-à-dire de droite à gauche donne la longueur AM' .
On construira cette seconde solution de la même ma-nière que la première; la longueur AE, étant égale »
AG + OE, c'est-à-dire à l/a' + ~ + ?, est précisémei^B^i
la valeur absolue de x" ; on prendra donc AM' = AE.
154. Question VIII. Trouver les côtés d*un triangle ne tangU , connaissant la hauteur et la différence des côtés f angle droit.
ÉaUATlOlfS DU SECOND DEGRÉ. 185
Appelons â? et y les denx côtés de Tangle droit, a leur différence donnnée, i l'hypoténuse et h la hauteur. On a les tiois équations
(3) xy = hz.
On obtient la seconde en écrivant que le carré de Thypoténnse ^ale la sonune des carrés des deux côtés de Tangle droit; la troisième, en rémarquant que le double de la surface du triangle égale la moitié du produit des deux côtés de l'angle droit, ou le produit de Thypoténuse par la bauteur.
n est facile d'éliminer j? et y entre ces trois équations. Si, dans la première élevée au carré ,
(4) x^ + y*—fkxy = a\
on remplace x^ + y* par z* et xy par zA, on a l'équation du second degré à une inconnue
(5) z^ — 2hz = a% d'où l'on déduit
La première racine est positive ; le radical ayant une valeur plus grande que A, la seconde est négative. Comme les côtés du triangle doivent être nécessairement des nombres positifs, cette seconde racine ne convient pas à la question ; on l4 rejettera et l'on ne conservera que la racine positive
Une fois l'hypoténuse z connue, on obtiendra aisément 2 et y. A l'équation (4) , ajoutons l'équation (3) multipliée par 4, il vient
a:' + y* + ^^ = û* + l^hz ,
iSO LtVRM ltl.~CttA»i II.
OU
(a?4.y)*=3«»4-4Az, (7) a? + y=:v/a«+4Az.
Cette équation donne la somme deâ deux côtés de Ttogle droit; comme on connaît déjà leur différence, ces deux côtés sont connus.
Appiieâiimi. d :^ i"*, ft =± a'^^. LA fonntile (6) âMne imb; la formule (7) doiints x + y = 7i comme où a déjà j — y=sîi, il en résulte x = 4i y = 3*
155. QuESTXon IX. Trouver la profondeur (f un puits, m y laissant tomber une pierre , et notant le temps qui iè^ coule entre le moment où on lAche la pierre et eelui ou ton entend le bruit que fait la pierre en arrivant au fond dm puits.
Appelons x la profondeur du puits et t le temps tfae la pierre met à arriver au fond du puitsi On sait que les oorpa en tombant parcourent des espaces proportionnels aux carrés des temps, de sorte que l'espace x parcouru par la
pierre en t secondes sera a; = — , - représentant FespÉCQ
parcouru dans la première seconde; on en déduit
/ agg
t = i/— -• D'autre part, on sait que le son se propage
uniformément avec une vitesse de 34o mètres par seconde, vitesse que nous appellerons v ; ainsi le temps que met la son à remonter du fond du puits pour arriver à roreUleœt
-. Mais le temps observé a est égal au temps que met le
pierre à arriver au fond 4a puite, plus oelxii que le son emploie i» revenir jusqu'en haut. On a dboe l'équation
V fl' »
iQOAtlOMS M) BICOMD DIAil. 187
Si Ton fait passer le terme - daas le second membre | Té*
Si roQ élève les deux membres au carré, le radical disparaît et Ton obtient l'équation du second degré
OU, en développant, et multipliant par v', (4) X* — av f a 4- -J 2? + aV
' If r
On en déduit
ou, en simplifiant,
On voit que les racines sont réelles ; elles sont poritives, puisque leur somme et leur produit sont positifs.
n est évident à priori que la question proposée admet toujours une solution et n'en admet qu'une ; voici d'où proviennent les deux racines positives. L'équation du problème est l'équation (i) ou l'équation (a) ; or nous remarquons que l'équation (3), obtenue par l'élévation au carré, n'est pas équivalente à l'équation (2) ^ car» si l'on élève au carré les deux membres de l'équation
on obtient la même équation (3) . Ainsi Téquation (3) comprend, non-seulement les solutions de l'équation (a), mais
1S8 UVRB m. — CHAP. IK
encore celles de Téquation (7). Il faut donc examiner quell( est celle des racines trouvées qui convient à la question. L première , celle qui est donnée par le signe + placé devan le radical , ayant une valeur plus grande que av, rend néga
tive l'expression a , et satisfait par conséquent » non
Téquation (2) , mais à Téquation (7) -, elle doit être rejetée L'autre racine
a une valeur moindre que av; car la valeur du radical étan
plus grande que -, la parenthèse est moindre que a; eU
satisfait donc à l'équation (2) , c'est-à-dire à l'équation à problème. Ainsi la profondeur du puits est donnée par I formule (8).
156. Remarque. Pour résoudre la question précédente nous avons élevé au carré les deux membres de Téquatio irrationnelle (2), ce qui nous a conduit à l'équation entier du second degré (4) ; et nous avons vu que l'une des racine de cette équation convient à l'équation (2), l'autre à Téqua tion conjuguée (7) , déduite de la première par le change ment de signe du radical. Il n'en est pas toujours ainsi quelquefois les deux racines de l'équation entière convien nent toutes deux à l'équation irrationnelle proposée, d'autre fois aucune d'elles ne la vérifie.
Soit, par exemple, à résoudre l'équation
(1) X — \-=\lôx — 5.
Si l'on élève les deux membres au carré, on obtient Téqus tion du second degré
