ÉQUATIONS DU SECOND DBGBÉ

qui admet, non-seulement les racines de Téquation (i), mais encore celles de l'équation conjuguée

Les deoi racines de Téquation (2) sont â? = 2 et x = S; chacune d'elles rend positif le premier membre de l'équation (1), elles conviennent donc toutes les deux à FéquatioD(i) et aucune d'elles ne vérifie l'équation (3). De même, si l'on voulait résoudre l'équation

qui est la même que l'équation (3), on serait encore amené iFéqnation (9) ; les deux racines, rendant négatif le premier membre de l'équation (4)9 conviennent à l'équation conjugoée (1) ; on en conclut que l'équation proposée (i) n'admet aucune solution.

Considérons encore l'équation irrationnelle

({ui, par l'élévation au carré, conduit à l'équation du preiQQÛer degré

Cette valeur x =i 2 , rendant positif le premier membre, convient à l'équation proposée ; l'équation conjuguée

X — 1= — ^x'— 3, ou

I — x=^x* — 3 ti'admet aucune solution.

* lorsque t dans Tiquation ax' + bx + c = 0, a tend vers zèro^ Vune des racines croH indèfinimeni.

157. Supposons, pour fixer les idées, que le second efficient b ait une valeur positive, et désignons par x' et x"

100 UVM 111. -— CIIAF. II.

les deux riusines

yi =

oa

>, — * + V^é*— 4ûf

Le coefficient a étàpt très-petit, la quantité l\ixc sera elle-même très-petite ; 6* — 4ac différera très-peu de 6*,

et ^6* — l\ac de 6 ; le numérateur de a?' sera à peu près

égal à — 26, et la valeur de oi différera très-peu de .

Le dénominateur étant trèa^petiti le quotient sera tilè*grandi et la racine m^ aura une valeur très-grande, abtfcrto^ lion faite du signe* On voit ainsi que, lorsque le coefficient a diminue et tend vers zéro, cette racine croit indéfiniment

L'autre racine o^' conserve au contraire une valeur finie

et tend vers la valeur — - , quand a tend vers zéro. On

remarque d'abord que le numérateur étant à peu près égal à — 6 + 6, a une valeur très-petite. Cette racine est donc le quotient de deux quantités très-petites , et elle se

présente sous la forme-, quand a tend vers eéro. Afin

de reconnaître sa valeur, qous transformerons cette exprès* sion en multipliant son numérateur et son dénominatetlr

par — 6 — ^6* — l\ac^ ce qui donne

(—44. ^ ^î 4ac) (— A — v^6* — 4ac) aû( — h — y/é* — • 4^^)

Au numérateur, la première parenthèse étant la somme des

deux quantités— 6 et ^{r — l^acy la seconda la différence de ces «deux màmes quantités, le produit des deux paran-

ÉQVATlOlfft Dt SECOND DBGRÉ. 4M

tMMi égalé là différais des (Carrés, et Ton a

*• — (*« — 4ac) 4<wr

f'rr

m( — b — y i' — 4^) aiï( — é — ^b* — ^ac)

Si Ton supprime mamtenant le facteur coaunuD aa« qui rend les deux termes de la fraction très-petits, il vient

ne

L'expression mise sous cette forme, toute difficulté dispalait; le dénominateur différant très-peu de 26, la valeur

dex^eBtàjneu près égalée — v, et quand a tend vers zéro,

et

Mte racine tend aDMnème vers la valiur finie — ^ r «

An reste, quand a tend vers zéro, l'équation du second

d^ se réduit à une équation du premier degré

bx-\-c = o,

racine 0^" = — -est précisément la solution de cette

(qutioB da premier degré. L'autre racine oi^ devenant infinit, disparaît

* Co/cifl numérique d»8 deuâ» r actnei quand a e$î

itii^êtiL