Resiabque. Lorsque, dans l'équation
leterme connue est très-petit, sans que le premier coeffi*
cieDt a le soit en même temps , le produit - des racines est
tts-petit, et par conséquent Tune des racines est trèspetite. On peut calculer cette racine par la méthode des approximations successives. £n effet, mettons l'équation soQslaforme
c ax^
ax-
le ternie ^ est très-petit relativement k x ( cai' le rap-
dx port de ce terme à x est ~ , quantité Irès-petite) . En négligeant ce terme , on aura donc une première valeur approchée de la racine cherchée
Substituant cette valeur approchée dans le second membre. m aura une seconde valeur
plus approchée que la précédente, et ainsi de suite. Exemple. Soit l'équation
x' -f- ax — 0, 1 = o ,
196 LIVRE III. — CHÀP. il.
que Ton écrira sous la forme
X' X = O.OJ .
La petite racine a pour première valeur approchée
x^ = o,o5 , pour seconde valeur approchée
X = o,o5 — OjOpiaS = 0^04875.
DES QUESTIONS* DE MAXIMUM ET DE MINIMUM QUI PEUVENT SE itSOUDRE PAB LES ÉQUATIONS DU SECOND DRGRl^.
160. Lorsqu'une grandeiu* variable après avoir augmenté pendant un certain temps, diminue ensuite, elle passe par une valeur plus grande que les valeurs voisines, «Des qui précèdent et celles qui suivent immédiatement : OD dit qu'elle passe par un maximum.
Au contraire, lorsqu'une grandeur variable , après avoir
diminué pendant un certain temps , augmente ensuite , elle
passe par une valeur plus petite que les valeurs voisines,
celles qui précèdent et celles qui suivent immédiatement ;
OQ dit dans ce cas qu'elle passe par un minimum.
Considérons, par exemple, la section d'un terrain accidenté par un plan vertical , et supposons que l'on mesure
la hauteur d&s différents points de cette courbe au-dessus dn plan horizontal GH. Le sonunet A d'une coUine sera un maximum , le fond B d'une vallée un minimum. Si l'on parcourt cette ligne dans le sens KL, après s'être élevé jusqu'au point A , on descendra ensuite de A vers B ; la hau-
108 LIVRE III. — CHàP. III.
leur AA' du point A est plus grande que celle des point voisins, d'un côté ou de l'autre; c'est un maximum. El continuant le mouvement, on descendra jusqu'au point 1 pour monter ensuite de B vers C ; la hauteur BB' du point 1 est plus petite que celle des points voisins, d'un côté ou d^ l'autre ; c'est un minimum. On trouve ensuite un nouveai maximum CC, etc.
Nous allons étudier quelques questions simples qui peu vent être résolues par des polynômes ou des équations du second degré.
161. Question I. Partager un nombre donné en deux pat" lies de fnanière que leur produit soit maximum.
Première méthode. Appelons a le nombre donné , x Yunt des parties, y le produit; l'autre partie sera a — a?, et Toi
aura
y = ar(a — 0?).
Faisons varier a; de o à a; quand a? = o, le produit y es nul ; quand x atteint la valeur a, le produit redevient nul Ainsi la quantité y est partie de zéro pour revenir à zéro dans l'intervalle elle a pris une série de valeurs positive finies ; elle a augmenté d'abord pour diminuer ensuite ; ett a donc passé par un maximum.
Pour étudier la variation de ce produit , nous l'écriron sous la forme suivante
La quantité y est la différence de deux quantités positives l'une fixe , l'autre variable *, elle atteint sa plus grande valev
ou son maximum j- , quand le terme à retrancher ( — x] est nul 9 c'est-à-dire lorsque x = -f el alors l'autre pu
tie a — ^ est aussi égale à -. Ainsi , le produit de deux
facteurs^ dont la somme est constante^ est maximum^ quand ces deux facteurs sont égaux entre eux.
n est facile de suivre les variations qu'éprouve le produit y quand x varie de o à a. Quand x croit de o
à -, le terme à retrancher ( x] diminuant de plus
en plus , la quantité y augmente de zéro à la valeur maxi*
mum , ; quand x dépasse - et varie de ^ à a , le tenue
à retrancher ( x) on (x — -) augmentant de plus
a' en pluSi y diminue au contraire de -7- à zéro , en repassant
par les mêmes valeurs que précédemment. Si Ton fait
croître x au delà de a, l'autre partie a — x devient négative et croît en valeur absolue , leur produit x {a — x) détient négatif et croît aussi en valeur absolue ; donc la valeur relative de y diminue indéfiniment. 11 en est de même â Ton donne à x des valeurs négatives.
A cette question abstraite correspond la question géométrique suivante : De tous les rectangles de même périmètre quel est le plus grand ? Car, si l'on appelle «a le périmètre donné, x la base , a — x étant la hauteur, la surface sera ifeprésentée par le produit x {a — x) de deux facteurs dont la somme est constante. Nous avons vu que ce produit acquiert sa valeur maximum quand les deux factem^ sont égaux entre eux ; ainsi, de tous les rectangles de même périmètre , le plus grand est le carré
H est aisé de suivre la variation du rectangle : quand 2 ss O9 la hauteur est égale à a et le rectangle se réduit k une ligne droite de longueur a ; l'aire est nulle. Si Ym
