LIVHE III. — CHAP. III
fait croître la base x de o à - , Yaite augmente progrès^.
a« vement de o à la valeur maximum -j-, La base x eonti-
nuant à croître de - à a. Taire diminue de cette valeur
maximum à o, en repassant par les mêmes valeurs que
précédemment. A la fin, quand x=a^ la hauteur est nulle
et le rectangle se réduit de nouveau à une ligne droite ;
Taire redevient nulle. Dans cette question géométrique^ la
variable x ne peut ni dépasser a ni prendre des valeura
négatives.
A la même question se rattache encore cet autre problème
de géométrie : Parmi Kms les triangles de même base et de
même périmètre^ quel est le pltis grand? Si Ton appeUe %p
le périmètre donné, a le côté constant, 6 et e les deux côtés
variables , on sait que la surface du triangle est exprimée
par la formule
Nous pouvons faire abstraction des deux facteurs constants p, p — a et considérer seulement les deux facteurs variables p — 6, p — c, dont la somme «p — 6 — c ou a est constante. Si Ton représente par x le premier facteur, le second étant a — a?, on a à considérer le produit x{a — x)\ d'ailleurs x varie de 0 à a; le produit acquiert sa valeur maximum quand les deux facteurs sont égaux entre eux ; il s'ensuit que le triangle maximum est le triangle Uocile. Plus les deux côtés variables diffèrent entre eux , plus la surface du triangle est petite.
162. Deuxième méthode. On peut traiter la question précédente par une autre méthode dont nous nous servirons par la suite ; proposons-nous d'abord la question suivante : Partager 1$ nombre a en deux parties dont le produU 90Ù
MAIIMA ET NINIUA 201
^1 éfo/à iMe quaniiti donnée m. Si Ton désigne ces deux par* ties par â; et y, on a les deux équations
Où connaît la somme et le produit des deux inconnues x et y; par conséquent ces deux inconnues sont les deux r<v ones de l'équation du second degré
i«* — aM + w = o.
Ainri les valeurs de x et de y sont données par la formule
Time des racines est la valeur de x, l'autre celle de y.
La question n'est possible que si les racines sont réelles ;
il faut donc que la quantité placée sous le radical soit posi-
a* tife, c'est-à-dire que le produit m soit moindre que -y.
D'antre part, on peut donner à m une valeur quelconque
nKnndre que -7- ; car à une telle valeur correspondent deux
racines réelles, c'est-à-dire un mode de partage qui la four* niL Ainsi le produit m prend toutes les valeurs plus petites
c|ae -T-, et n'en prend aucune plus grande ; sa valeur la plus
grande, ou son maximum, est -j-. Mais, lorsque m = -7- , le
ladical est nul et les deux racines sont égales ; le produit
acquiert donc sa valeur maximum , quand on partage le
iMHQshre a en deux parties égales.
16S. Question IL Partager un nombre donné en deux firtiei teSe que la somme de leurs carrés soit minimum, hmiire méthode. Appelons a le nombre donné, x l'une
202 LiVRK m. — chàp. iir.
des parties, l'autre sera a — x et la somme y de de leurs c sera représentée par
Cette expression peut être mise sous la forme suii
j/^^x^ — aœr-|-fl*=2 { x* — ax-] — ) =^ ( ^ — ^^'^ T ) "^ (
ou
La quantité y est la sonune de deux quantités posit l'une fixe, l'autre variable. Si l'on fait croître a? de o
le terme variable diminuant, y diminue de a' à — ; a;
tinuant à croître de - à a, le terme variable 2 (x--
augmentant , y augmente de — à a'. Ainsi , la quant
diminue d'abord pour augmenter ensuite ; elle passe
par un minimum. Ce minimum — a lieu pour x = - , (
à-dire quand on partage le nombre donné a en deux ties égales.
Si l'on fait croître x au delà de a , l'autre partie a devient négative , mais son carré reste positif, et la so augmente indéfiniment. Il en est de même si l'on donn* des valeurs négatives.
A cette question algébrique se rattache Yitude de la riation du carré inscrit dans un carré donné. Si sur les (
àà earré donné ACBD, à partir des sommets et en tour*
nant dans le même sens, on porte quatre longueurs égales AE, BF, GG,
DH, et si Ton joint les
points ainsi obtenus , on forme un carré inscrit EFGH. Appelons a le côté du carré donné, x la longueur variable AE, Taire y du carré inscrit est re-
prtotée par l'expression
<pc nons avons mise sous la forme
Faisons varier â? de o à a ; quand a? = o, le carré inscrit c<tocide avec le carré donné ABCD, Taire est égale à a*;
2 croissant de o à-, Taire du carré inscrit diminue de
fl*à— ; X continuant à croître de - à a, Taire croît de —
ic*; enfin, quand x devient égal à a, le carré inscrit tolodde de nouveau avec le carré donné. Ainsi, Taire du
carré inscrit diminue d'abord de a* à — pour augmenter
CDSQtte de -^ à a* ; elle passe donc par une valeur mini-
nimn — et Ton obtient ce carré minimum en joignant les
niilieux des côtés du carré donné.
Si l'on prolonge indéfiniment les côtés du carré donné
204 LIVRE lir. — C^AP. III.
toute restriction disparaîtra, et Ton pourra donner à x des valeurs positives plus grandes que a et aussi des valeurs négatives (le carré inscrit ET611' correspond à une valeur AE' plus grande que a) . De cette manière le carré inscrit augmente indéfiniment.
A cette même question se rattache encore Yèttide de ta variation de la diagonale d'un rectangle dont le périmètre est constant. Car si Ton appelle 2 a le périmètre donné, xla base , a — x la hauteur, la diagonale y sera
Quand or = o le rectangle se réduit à une ligne droite de longueur a et la diagonale est égale à a. Si Ton fait crottre x
de o à-, la diagonale diminue de a à -p; x continuant
à croître de - à a, la diagonale augmente de -7= à a; à la
la fin , quand a; = a , le rectangle se réduit de nouveau à une ligne droite et la diagonale redevient égale à a. Ain^
la diagonale acquiert sa valeur minimum pour x= -^ c'està-dire quand le rectangle est un carré.
Les deux côtés du rectangle ayant des valeurs essentiellement positives, on ne peut pas faire croître x au delà de a, ni lui donner des valeurs négatives ; la diagonale a donc sa plus grande valeur a pour a; = o ou or = a, c*est*àr-dire quand le rectangle se réduit à une ligne droite.
164. Deuxième méthode. Proposons*nous d'abord la question suivante : Partager le nombre a en deux parties téttes que la somme de leurs carrés soit égale à m. En appelant a? et y ces deux parties , on a les deux équations
MAXIMA ET MIMIIA. 205
Noos connaissons déjà la somme des deux inconnues ; si nous pouvions trouver leur produit , nous obtiendrions ces deux inconnues par une même équation du second degré. Or ced est facile. En élevant au carré les deux membres de la première équation , on a
x^ + 2xy + (/* = a*)
A Ton en retranche la seconde , ou trouve
%vy = a* — m,
doù
Sim les inconnues x et y sont les deux racines de l'équatksï du second degré
tt* — ûtt -| =: u ;
eOes sont données par la formule
v'awi — a*
rone des racines est la valem* de x, l'autre celle de y.
Pour que la question soit possible, il faut que la quantité placée sous le radical soit positive-, c'est-à-dire que la va-
fenr de m soit plus grande que — . D'autre part, on peut
(former à m une valeur quelconque plus grande que -^ ;
Et
car à une telle valeur correspondent des valeurs réelles de X et de y. Ainsi la quantité m prend toutes les valeurs
plus grandes que -;- et n'en prend aucune plus petite ; sa va-
leur la pluspetite,ouson minimum, est — . Loi'sque m = —, les deux racines sout égales ; la soiume des canes acquiert
206 LIVHK 111. — CUAI*. III.
donc sa valeur minimum quand le nombre a est parti^é en deux parties égales.
165. Question III, Les questions que nous avons traitées jusqu'à présent rentrent dans la question générale suivante : étudier la variation du trinôme du second degré ax' + bx + c.
Si Ton met le coefficient a en facteur, le trmôme, dont nous désignerons la valeur par y, s'écrit sous la forme
11 y a trois cas principaux à distinguer :
!• ^ — g > o. Les racines de l'équation obtenue en
égalant le trinôme à zéro, sont réelles, et le trinôme se décompose en facteurs réels du premier degré (n" 1 44)
nous appelons x' la plus petite racine , x^' la plus grande. Quand x varie de a/ à a/', le facteur ar — x' étant positif, le facteur x — x" négatif, leur produit est négatif et le trinôme a un signe contraire à celui de a. Quand x dépasse jf* et croit indéfiniment, les deux facteurs x — a:', x — a!' étant positifs, leur produit est lui-même positif et indéfiniment; le trinôme a le même signe que a. Quand contraire x est plus petit que x' et diminue indéfiiâment les deux facteurs étant négatifs , leur produit est positif augmente indéfiniment ; le trinôme a encore le signe de a
En résumé , le trinôme a un signe contraire à celui de pour toutes les valeurs de x comprises entre les deux x' et x", et il a le même signe que a pour toutes les de X extérieures aux racines, c'est-à-dire plus grandes que plus grande, ou plus petites que la plus petite. 11 change don deux fois de signe ; une première fois quand x passe par
MAXIIIA ET MIKIMA. 207
racine jt*, une seconde fois quand x passe pai* la racine x\ et œschangementsdesignes'opërentqnandletrinômes'annule. Si l'on complète le carré dont x^ -f* P^ ^^^ 1^ cioux premiers termes, le trinôme s'écrit
OU, plus simplement ,
en désignant par jk* la quantité positive y — qf. La paren-
tbèae est la différence de deux carrés, l'un fixe, l'autre varriable. A l'aide des formes (i) et (s), il est facile d'étudier la variation du trinôme. Supposons d'abord le coefficient a poMtif ; X variant de — cr^ à a/, y diminue de + cr. à o :
X variant de x' à — -, h continue à diminuer de o à la va-
leur négative — oft' ; x variant de — - à o/', y croit de
-oi^ à o ; jr croissant ensuite de od' à -(- 0^9 y augmente
de 0 à + oc. En résumé , y diminue de + ^^ à — aft' pour
«ïçmenter ensuite jusqu'à + c/^ ; cette valeur négative — akr
p x'+af' ^ on minimum ; on l'obtient quand x = — - = -— — .
Supposons maintenant le coefficient a négatif; x variant
îte— cr> à x\ y croit de — rfàk o; x variant de af à — ^,
ï croit encore de o à la valeur positive — ak* ; x variant en-
aûte de — - à x" et de x" à + c», 11 diminue de — ak^
i 0, pms de 0 à — c/^ ; ainsi la valeur positive — ak* est
p af + a^ ^ ^»^oximum: on l'obtient pour x = — - = — -^ — .
208 LIVRE nu — CHAP. liu
^ — g<o. Les racines sont imagiuaires et le trinôme prend la forme
ou plus simplement,
en désignant par k' la quantité positive q — y. La parenthèse est la somme de deux carrés, Tun fixe, l'autre variable ; quelle que soit la valeur de x^ elle reste toujours positive et le trinôme conserve le signe de a. La parenthèse devient minimum quand x = — ~. Si partant de
cette valeur — ^, a; tend vers -f o^ ou vers — co, la parenthèse augmente indéfiniment. A ce minimiun de la parenthèse correspond un minimum ou un maximmn du trinôme , suivant que a est positif ou négatif.
3* ^7 — g = o. Les racines sont égales et le trinôme
s'écrit
C'est un carré parfait ; y conserve toujours le signe de a, et admet le minimiun zéro en valeur absolue.
166. Question IV. De tous les canes circonscrits à une sphère donnée ^ quel est le plus petit ?
Soit AB un diamètre fixe de la sphère ; menons par le point A un plan tangent à la sphère et sur le prolongement du diamètre AB prenons un point quelconque S pour
IIAXIMA ET MINIMA.
sommet du cône circonscrit. Si le sommet S se rapproche
du point B, le cdne, s' évasant de plus en plus, augmente indéfiniment ; si au contraire le sommet S s'éloigne du point B, le cdne, s'allongeant de plus en plus, et ayant toujoiu*s une base plus grande qu'un grand cercle de la sphère , augmente aussi indéfiniment Ainsi, lorsqu'on fait glisser le sommet S sur le prolongement du diamètre à partir du point B, on voit que lecAne circonscrit, d'abord infiniment grand, commence par diminuer pour augmenter ensuite et redevenir indéfiniment grand , il passe donc par une valeur plus petite que tontes les autres, c'est-à-dire par un minimum. Le volume du cdne a pour mesure
i itÂC* X SA.
Appelons r le rayon de la sphère et x la distance BS. On a
SA = ar + ^• Les triangles semblables SAC, SOD donnent la proportion
