AC

Si Ton remplace les quantités AC et SA par leurs valeurs, le volume do cône aura pour expression

,(ar-M«

210 LIVRB 111. — CHIP. III.

Proposona-Dous d'abord cette question : circonscrire à la spbère un cône de volume donné. Si , pour simpliûer, nous

représentons le volume donné par ^ Tcr'm , nous aurons Féquation

qiût mise sous forme entière, devient

x*— 4(tn — r)x + 4^' = o.

On en déduit

X = a(m — r)± a ^(m — rf — r',

et| en simpUfiant la quantité placée sous le radical ,

X = a(m — r) ±: a ^(m— -ar).

Pour que a; soit réelle, il est nécessaire et il suffit que la quantité positive m soit plus grande que sr ; donc m a un minimum ar, et quand on donne à m cette valeur on trouve a: = ar. Ainsi le plus petit cône S'G'E' circonscrit à la sphère a une hauteur S'A double du diamètre de la sphère ; le

volume de ce cône minimum est ^r «r' ; c'est le double du

volume de la sphère.

A toute valeur de m plus grande que 2r correspondent deux valeurs de x réelles et positives ; il existe donc deux cônes ayant un même volume quelconque plus grand que le minimum^ l'un a une hauteur plus grande que la hauteur S'A du cône minimum, l'autre une hauteur plus petite. En effet , la valeur de x donnée par le signe + devant le radical est plus grande que a (m — r ) , et à plus forte raison plus grande que ar , puisque m est plus grand que ar ; le produit des deux racines étant égal à 4^'* et l'une d'éUes étant > ar, l'autre sera < ar.

Ce qui précède montre bien que, lorsque x croit de o

HAXIHi hT HINIIU. 211

i »r, le volume du cdne diniiaue de l' infini à aa valeur roi-

nimum ^ nr*, et que lorsque x continue à croître au delà

de xr, le voluuie augmente ensuite indéûniment.