Qdestion V. Étudier la variation de la iurfaee totale
dn cylindre imcrtt dans un e&ne
donné.
Désignons par r le rayon OA de la batae du cOiic, et par A aa hauteur SO; appelons x le rayon OC de la base du cylindre in.scrit, j; la hauteur Où. Les triangles semblables EGA, SOA, douiient la proportion
i = — p-, dou (i) a= \ • Li surface toUde S du cylindre a |)our expression
et, eu remplaçant y par sa valeur,
H y plusieurs cas i considérer, suivant que le cône d<Riiië ï nne forme plus ou moins allongée, i" Supposons tfibord la hauteur h du cône moindi-e que le rayon de
Il base, c'est-à-dire le cône tiès-aplati. La quantité
^t poâtive , on voit que la surface augttiente à mesure 1M X augmente ; si donc ou fait croître a: de o à r, la surks im constamment en augmentant de o à sxr*. Au commencement, quand x = a, le cylindre se réduit à la ligne droite OS et la surface est nulle ; à la fin , quand
212 LIVRE ni. — chàp. m.
a; = r, la hauteur étant nulle, le cylindre coïncide la base du cône et la surface devient égale à sirr*. 1 ces deux limites, la surface va continuellement en mentant, sans alternative de décroissance.
2* Supposons maintenant A > r, l'expression de la face deviendra
S = aicx h X L
ou
l^^ « A — '' Y hr ~\
(3) S=21C— — X^l^j— j;-xj.
Négligeant le facteur constant positif a^c , nous
vous nous borner à considérer le produit
des deux facteurs variables. La somme de ces deux faci est constante ; mais il ne faut pas en conclure imméd ment que le produit acquiert sa valeur maximum qi les deux facteurs sont égaux entre eux ; il faut pour que ces deux facteurs puissent eiSectivement devenir éj entre eux, ce qui n'a pas toujours lieu, comme nous a le voir. Par une transformation que nous avons déjà plusieurs fois, mettons le produit sous la forme
AV« / hr y
Le rayon x de la base du cylindre n'est susceptible de y que de o à f . Si Ton a
hr
c'est-à-dire h < ar, quand x croit de o à r , la quantité
hr
VAXIMA ET MINIMA. 21S
reste positive et diminue sans devenir égale à zéro ; la sur*
boe du cylindre va en augmentant continuellement deptds
le conmiencement jusqu'à la fin , comme précédemment.
Dans ce cas, les deux facteurs du produit ne deviennent pas
hr égaux entre eux, ce qui exigerait que Ton eût x =
la surface arrive à sa plus grande valeur quand a? r= r, c est-à-dire quand les facteurs diffèrent le moins possible
fun de l'autre.
hr Supposons maintenant . . < r, ou ft > 2r; x va-
hr A'f
riant de o à —tt — r , la surface augmente de o à
2{h-ry " 2(ft-r)'
hr
«continuant à croître de -rr — x ^r^h, surface diminue de
2(ft— r)
f^hW
cette valeur — rr r jusqu'à la valeur extrême aitr*. Ainsi
3(fc — r)^ ^
la surface passe par un maximum pour x = . ;
dans ce cas , les deux facteurs du produit dont nous avons parlé deviennent égaux entre eux.
En résumé, si l'on fait croître o; de o à r; i* quand l<2r, la surface du cyliydre inscrit va en augmentant continuellement depuis le commencement jusqu'à la fm ; 2' quand ft > 2r, la surface augmente de zéro jusqu'à une certaine valeur maximum, puis diminue de ce maximum jusqu'à 2icr*.
168, Question VI. Étudier la variation de la fraction
<i<int laquelle x désigne une variable réelle arbitraire.
Proposons-nous d'abord de trouver les valeurs de x qui rendent cette fraction égale à une quantité donnée tw. Nous
21 A LIVRE lit. — CHAP. III.
aorons Féquation
nx^ + 6
(m (m — 3)x* — &mX'{'i\m — 6 = 0,
d'où l'on déduit
^^ 3m±: s/gm^-^^m, — a)(iim — 6)
et , en simplifiant ,
3m db V — am' + a8m — la
Pour que x soit réelle, il est nécessaire et il suffit que If quantité placée sous le radical soit positive. Ainsi la quan tîtë m prendra toutes les valeurs qui rendent positif 1<
trinôme
— am' + 28m — la,
et n'en prendra pas d'autres. Ce trinôme peut être mis soui
la forme
— a(m*— i4jn + 6).
L'équation
obtenue en égalant le trinôme à zéro , a ses racines réelle
m = 7 db v/43.
Appelons m' la plus petite, m" la plus grande ; le trinôm se décompose en facteurs du premier degré et s'écrit
— a(m — m!) [m — m") , ou i[m — m') (m" — m).
Le trinôme est positif pour toutes les valeurs de m con prises entre m' et m" ; et il est négatif pour toutes les au très valeurs. Ainsi, quand la variable x parcourt toiil l'échelle des grandeurs, la fraction proposée m varie enti m! et m" , sans jamais sortir de ces limites.
MAXIMA ET MlIflMA. 216
La ]imit6 inférieure m' est un iDinimum , la limite supérienre m" est on maximum.
Gomme ^^43 = 6,557 ^ 0,001 près, le minimum de la fnc&m est m' = 0,44^9 le maximum m" = 13,557. La valear de X qui rend la fraction minimum est
j 3ifi __,
celle qui la rend maximum est
^=zj, — - = 3,519.
A toute valeur de m comprise entre m' et m" correspondent deox valeurs différentes de œ.
Nous pouvons maintenant nous rendre compte de la variation de la fraction proposée , quand x varie d'une manière continue de — ooà + oo. Examinons d'abord ce que devient cette fraction quand on donne à x une valeur numérique très-grande , positive ou négative. Pour cela, nous diviserons par x* le numérateur et le dénominateur, ce
qui donne
({oand X est très -grand numériquement, les quantités 5, - , — I sont très-petites , et la fraction diffère très-peu
de la valeur - ou 2 ; ceci nous apprend que la fraction tend
^rs la valeur 2 quand x augmente indéfiniment en valeur *l»olue. Si donc on fait croître x d'une manière continue de — Qo à — 0,854 » la fraction proposée ira en diminuant delà valeur 9 à la valeur minimum o,445 ; x croissant en-
216 LIVRE III. — GHAP. m.
suite de 0,8549 ^ 3,5 19 la fraction ira en croissant du minimum o,445 au maximum i3,557; x dépassant enfin 5,5 19 et croissant indéfiniment, la fraction ira en dUninuaiit du maximimi 1 3,357 à la valeur 2. Il est à remarquer que la fraction passe deux fois par chaque valeur intermédiaire entre le minimum et le maximum. Il faut en excepter toutefois la valeur 2 ; la fraction ne passe pas précisément par la valeur 2 ; car cette valeur doit être considérée comme la valeur limite vers laquelle tend la fraction, quand x s*é* loigne vers l'infini positif ou vers l'infini négatif.
