Question VII. Étudier la variation de la fraction

Si nous cherchons les valeurs de x qui rendent la fraction égale à m, nous avons l'équation

X* — 6mx-|- 7m + 5 = o, d'où

x = Zmd- ^gm* — ym — 5.

La fraction m prendra toutes les valeurs qui rendent positif le trinôme

gm' — ym — 5.

Les deux racines de l'équation , obtenue en égalant ce trinôme à zéro , étant réelles , le trinôme se décompose en facteurs et se met sous la forme

m' désignant toujours la plus petite racine — o,43s , m" la plus grande i,23o. Le trinôme est négatif pour les valeurs de m comprises entre m! et m" ; mais il est positif pour toutes les valeurs de m plus grandes que m" ou plus petites que tm%

BlAXIUA ET MliMMA. 217

Ainsi la fraction m admet deux séries de valeurs : l'une, commençant à mt' et s' élevant à -f c>:> ; l'autre commençant à m' et descendant vers — f:r^. La valeur m" est le minimum de la première série, elle est donnée par x = 3m'' = 3,690, la valeur m' est le maximum de la seconde série, efle est donnée par x = 3m'=: — 1,556. Remarquons que les mots maximum et minimum n*ont pfais iâ un sens absolu, mais seulement un 3ens relatif. La Taleor m" est la plus petite de toutes celles de la pi*emière série ; c'est un minimum relativement à cette première série ; nnis elle est plus grande que les valeurs de la seconde série. De même , la valeur m' est la plus grande de toutes celles de la seconde série ; c'est un maximum relativement à cette seconde série.

Ainsi , la fraction proposée varie de tn'' à -f- c» et de mr à — co- elle parcourt toute 1* échelle des grandeurs, sauf la portion comprise entre m' et m". Il faut remarquer que la fraction saute brusquement de — on i\

-|- oo quand x passe par la valeur ^ . En effet , quand x

est un peu plus petit que ~, la fraction est négative et

très-grande en valeur absolue; dès que x dépasse un peu

2 , la fraction devient positive et très-grande.

Si l'on divise le numérateur et le dénominateur par x, ce qui met la fraction sous la forme