LIVRE m. — CHAP. m
iStudiODs d'abord sur la Tigure la variation du p AB X AG. Faisons tourner !a sécMite autour du poin' droite à gauche; s
tangente au petit cercle, le segment AC s' annulai produit redevient nul ; dans l'intervalle le produit a passé par un maximum. Si nous continuons le mouv dans le même sens pour aller de la position AE à la Uon AD , le produit , partant de zéro pour revenir à passe par un second maximum.
Supposons que la sécante occupe la position BG centres 0 et 0', abfûssons sur cette sécante les perpei laires OF, O'G ; et du centre 0', menons une parallë à la sécante. Appelons a et b les rayons OA, O'A det cercles, d la distance 00' des centres, j; et y les moitié AG des deux segments de la sécante, 4"' le produit deux segments. On a la première équation
(.) xv = .«.
Le triangle rectai^le OO'H donne
rf' = ffïT + ÔiT = [a: + y)" + (OF — O'G)» ;
là l'on développe les carrés et si l'on observe que
Ôf'=«» — r",
IIAXIMA ET MIMMA. 221
il vient
d'où
en désignant , pour abréger , par A la quantité connue
— = . En élevant au carré et développant, on a
o«6* — 6V — «y + xY = (A + m]\ ou
Les deux équations (i) et (2) conviennent aussi au cas
où la sécante occupe la position AB'; seulement, dans ce
cas, le segment AC, étant porté en sens contraire, sera
regardé comme négatif, ainsi que le produit m. Dans le
triangle rectangle OO'H', le côté O'H' est égal à la différence
AP — AG', ou à la somme algébrique x + y ; le côté OH'
est une sonune OF' 4- O'G, au lieu d'être une différence
comme précédemment ; le signe placé devant le radical est
donc changé, mais l'élévation au carré donne la même
équation (2). Puisque , dans cette nouvelle position de la
sécante , le produit m est regardé comme négatif, on voit que
k second maximum géométrique correspond à un minimum
algébrique. Ainsi le produit m variera entre un minimum
négatif et un maximum positif.
Afin de rendre l'équation (2) symétrique par rapport aux deux inconnues, nous changerons les inconnues et nous poserons
prenant pour inconnues nouvelles x' et y' ; les équations ( 1 ) et (2) deviennent ainsi
(3) x'y' =r. abm ,
222 LIVRE ni. — CUAP. ni.
On connaît le produit des deux inconnues et la scouiie àt leurs carrés. Si , à la seconde équation , on ajoute la pre- ' mière multipliée par 2 , il vient
{x' + yj = [ab + m)*-{k + m]\ d'où
x'+^ = zh v^(a6 — A) (oA + A 4- 2m) .
De même , si de la seconde équation on retranche la pre* mière multipliée par 2 , il vient
(x' — y'Y = [ab — mY — ( A + m]\ d'où
x' — y' = ±: sl[ab-\' k)[ab — A — am).
Si l'on remplace A par sa valeur, les deux expresiûons précédentes deviennent
(6) x'-y' = ±iv^[(a + 6)'-rf'][rf'-{«-*)«-4«l.
Pour que la question soit possible , il est nécessaire et il suffit que les deux radicaux soient réels. Nous remarqucma d'abord que, puisque la distance des centres est plu9 petite que la somme des rayons et plus grande que leur différence^ les deux quantités
{a + by-d\
sont positives ; en représentant , pom' abréger, par p et g ces deux quantités positives, on a
jf — }/ = ±i- \/p{q — (\rn).
MAXIUA KT HIHIHA.
l£prenûer radical est réel, si ^nt est plus grand que — p, le second, si 411 est plus petit que q. Donc le produit des deux s^ments de la sécante varie du minimum — p au maximum 4- 9 ■
Si l'on fait 4i» = 9i on slx' — v'=o, et par suite bx=atf,
oa — = r> les deux tiegments AB et AG étant proportionnels aux rayons , les deux triangles OAB, O'AC sont semblables, les rayons OA, O'C sont parallèles, et par conséquent la sécante passe par le centre de similitude externe des deux cercles. De même , si l'on fait 4m = — p, on a ^+ y* := o ; la sécante AB' passe pai- le centre de siraifitude interne. Ainâ le produit acquiert son premier maximom quand la sécante passe par le centre de similitude ex- "ï-, *■ terne; il acquiert son second
maximum numérique quand la sécante passe par le centre de similitude interne.
172. Question X. Alviolet des abeilla. Étant donné un prisme droit ayant pour base un iiexagone régulier, prenons sur le prolongement de l'axe O'O du prisme {fig. 1 } tm point arbitraire S ; par ce point et les trois côtés du triangle équilatéral AC£, obtenu en joignant deux à deux les sommets de la base supérieure, menons trois plans ; ces plans détachent du prisme hexa^nal trois tétraèdres BACG, DCEH , FAEK , et les remplacent par le tétraèdre SAGE placé au-dessus du prisme ; nous formons ainsi le solide
