LIVRE III. — CHAP. III
représenté par la figure 2, qui se termine à sa partie supé rieureparune sorte d*bexagone gauche, réunion des trois fa
Fig. 2. sangesqui aboutissent au som
met S.
Il est aisé de voir que le v« y / 1 liune du solide sdnsi formé â Kf — I i^>^ I / constant, quelle que soit lap
sition du point S sur le proloi gement de Taxe du prisme. E effet , les deux losanges SIG et OABG QSjr. 1) ayant ui diagonale conunune AG, li deux autres diagonales S et OB passent par le m&ii point L, milieu de AC ; les t; angles rectangles LB6, LC sont égaux, et Ton a BG=OS. 11 en résulte que le tétr^ dre GABG détaché du prisme, et le tétraèdre ajouté SAC sont égaux , comme ayant leurs bases égales ABC , AO et aussi leurs hauteurs égales BG et OS. Ainsi la soœbdes trois parties détachées du prisme est égale à la yf^ mide ajoutée SAGE.
Considérons maintenant la surface du solide. Appela a le côté A'B' de l'hexagone régulier, / la longueur l'arête A A' du prisme primitif, x la distance arbitraire C La surface latérale du solide que nous étudions, se com0 sant de six trapèzes tels que AA'B'G, a pour mesure
3(AA' + GBO X A'B' = 3û(a/ — x) .
Les trois losanges qui terminent le solide ont pour mesurer
3ACXSG
= 3AGxSL = 3a v^3 \/«*+ ^.
MAXnfA ET MINIMA. 225
iioffl la surface totale du solide , abstraction faite de la base ioférieure, a pour expression
5ii(a/ — x) + 3a
Gherchons la valeur de x pour laquelle cette surface est ^ à une surface donnée que , pour simplifier, nous re- (résenterons par 3am; nous avons l'équation
al—x+y
Sx* + -— = m.
(i) y/to« + Ç=m-îi/ + x,
et, ea élevant au carré ,
3a^ + — = (m — a/)* -\- tk[m — 2l)x + x*,
3a* (a) aar* — a(m — a/)x + -7 (^ — aO* = <>•
On en déduit
m — a/iti/s (m — a/)* — ^1
A l'inspection de l'équation (i), on voit que, le premier ïûfimbre étant plus grand que x, la quantité m — 2/ est i^tessairement positive. Si Ton représente cette quantité pw m', la formule (3) devient
'"^s/Hf-^
Pour que x soit réelle , là quantité positive m' doit satisfaire iïa condition
rw*> —
226 LIVRE m. — CHAP. III.
ou
Ainsi la surface a un minimum ; et ce minimum a lieu
Les abeilles construisent leurs cellules sur ce L'entrée de T alvéole est im hexagone régulier A'BX (fig. 2) ; le fond est formé de la réunion de trois fj planes inclinées de manière que la surface soit min Il y a ainsi économie de cire. Les alvéoles sont placi unes à côté des autres en doubles rayons , les ouv( tournées en dehors, et les fonds se touchant exact de manière qu il n'y ait pas d'intervalle vide entre e que chaque cloison serve à deux cellules voisines.
173. Question XI. Partager un nombre donné e sieurs parties de manière que le produit de ces parti maximum.
Pour fixer \9k idées , supposons que l'on part; nombre donné a en trois parties a:, y, s, dont chacuni varier de o à a. Il est aisé de reconnaître que le p xyz acquiert sa plus grande valeur quand les trois fa
sont égaux entre eux , c'est-à-dire quand a; = y = ;
En effet , supposons que deux des facteurs , par ex X et y , diffèrent ; fixons le troisième facteur z , et f varier les deux premiers facteurs .r et y, dont la s a — z est alors constante, de manière à les rendre entre eux ; il est clair que nous augmenterons le prod et par suite le produit xyz; ainsi, tant que deux fyn diffèrent, on peut les modifier de manière à augmen valeur du produit; le produit n'arrive donc à sa ^
maximum que lorsque les trois facteurs sont égaux entre eai.
Àpplieatian, L'sdre d'un triangle est exprimée par la
fonnole
dms laquelle a, b, e désignent les trois côtés et a p le périmètre. Si l'on fait varier les côtés de manière que le péri- Mire reste constant, la somme des trois facteurs variables f—a^p — 6,p — c, restant constamment égale à p, léÊt ^uit sera maximum quand ces trois facteurs seront égaux Ihtre (sut, c'est-à-dire quand a = 6 = c. Ainsi, de tous les ffiinjlH ayant mitn$ périmèirê^ le plu$ grand est le triangte l^natiraL
171 Remarque. Dans la question précédente , nous avons supposé que les facteurs variables et positifs ne sont assu- Mtis qu'à la condition
^*avoir ime somme constante ; chacun des facteurs varie de ^ à a et on peut les prendre tous arbitraiçement excepté im. ^^tns ce cas , nous avons vu que le produit est maximum , ^Haod tous les facteurs sont égaux. La même propriété ^tibsiste quand, outre la condition d'avoir ime somme constante, les facteurs variables sont assujettis à vérifier d'au- ^ï^ relations , pourvu , toutefois , que les nouvelles relations permettent de rendre tous les facteurs égaux entre ^m. Pour fixer les idées , bonions-nous au cas de trois tacteurs, et supposons que ces trois facteurs positifs soient Wujettis à vérifier les deux conditions
(a) x -f ay + 3« = ^»
''Paginons d* abord que l'on fasse abstraction de la rela-
228 LiynE iir. — chap. m.
tion (a) et que Ton donne aux trois facteurs x, y, ^ tous
les systèmes de valeurs positives qui vérifient la relation (i) ;
la plus grande valeur du produit ocyz sera la valeur — ,
qui a lieu quand on fait a; = y=z=^. Si, maintenant ,
on tient compte de la relation (2) , il faudra, parmi les systèmes de valeurs de a;, y, z, qui vérifient la relation (1), prendre seulement ceux qui vérifient en même temps la ri^lation (2) ; le produit xyz ne passera plus par toute la série des valeurs qu'il avait précédemment, mais seulement . par une partie d'entre elles ; il est évident que le maximum^ de la série partielle ne pourra dans aucun cas surpasser les maximum de la série totale considérée précédemment ; IcE plus souvent même il sera moindre. Si les trois facteurs^ peuvent devenir égaux entre eux, ce qui a lieu quand 6 = 2 a^
a* le produit acquerra la valeur maximum — ; mais si b diffère de 2a, les trois facteurs ne pouvant être rendus égausi
entre eux, le produit n'atteindra pas la valeur — ; sotf
maximum sera plus petit que — ; dans ce cas, pour déter—
miner le maximum, il faut recourir à une autre méthode î
qui sera exposée dans le Cours de mathématiques spéciales.
175. Question XII. Partager le nombreaendeuxparliesx et y telles que le produit x^y"^ soit maximum.
Nous pouvons écrire ce produit sous la forme
Faisons abstraction du facteur constant m'^n^ , et considé^ rons seulement l'expression variable
MAXIMA £T miNIMA.
que l'on peut écrire ainsi :
C'est le produit de m + n facteurs, dont m sont égaux à —
et n à ' ; la somme de tous ces facteurs n
est constante, puisque x + y = a ; d'sdlleurs tous ces facteurs peuvent être rendus égaux entre eux ; donc le produit acquerra sa valeur maximum quand tous les facteurs seroDtégaux entre eux, c'est-à-dire quand on aura
Ainsi il faut partager le nombre a en deux parties proportionnelles aux deux exposants m et n.
176. AfflicatioTM. !<" Étant donné une feuille de carton ^- '• carrée ABCD, si, après avoir mené des
parallèles aux quatre côtés à la même distance, on enlève les petits carrés dans les angles et qu'on relève les portions rectangulaires telles que EKLF , on forme une boite à fond B carré EFGH. Appelons sa le côté AB ^ la feuille de carton et x la distance AK à laquelle on ^^^ les parallèles ; la boite a pour base un carré dont le côtéEF est 2a — 2X ou 2 (a — x)\ sa hauteur est a:; le volume a pour expression
4(a — xfx.
280 LIVRE 111. — GHAP. m.
Quand x varie de o a a, le volume, qui est nul pour jc = o, augmente d'abord, pour diminuer ensuite et redevenir nul; il passe donc par un maximum ; la somme des deux facteurs variables a — x et x étant constante , ce maximum liora lieu quand ces deux facteurs seront proportionnels aux exposants 2 et i , c'est-à-dire quand on aura
d'où
jr = -.
Ainsi, pour obtenir la boite la plufi grapde, il faut partager le côté AB en six parties égales et piener les parallèles par les premiers points de division.
a" Quel est le plus grand des cylindres inscrits dans une sphère? Si l'on appelle r le rayon de la sphère, x le rayon de la base du cylindre , 2 y sa hauteur on a entre ces deux v^able3 la relation
et le volume du cylindre est exprimé par
Cherchons le maximum du produit x'y, ou, ce qui est la même chose, de son carré
xy.
Les deux facteurs x* et y*, dont la somme est constante, sont ici élevés, le premier à la puissance 2 , le second à la puissance 1 ; donc le produit sera maximum quand ces facteurs seront proportionnels aux exposants, c'est-à-dire quand on aura
ai'
On en déduit y = — . , j: = -^. La hauteur du cylin-
dre maximum est moindre que le diamètre de la base ; elle est égale aux deux tiers du côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle de base.
