LIVRE III. — CUAP. IV
du cylindre, ay sa hauteur, et représentons la surface i totale par 2^m. Nous aurons les deux équations
(2) 27WC*-|-4^xy= 27rm.
Si , dans la première équation , on substitue la valeur
tirée de la seconde , on arrive à l'équation bicarrée
(4) 5x* — 2(m -|- ar*)x* -|- m* = o , d'où Ton déduit
(5) ^ ^ . /(m + 2r') di v/(m + nr')' -^ 5m^.
La valeur de x devant être positive, il est inutile d'écrire le signe ± devant le grand radical.
Pour que x soit réelle , il est nécessaire que la quantité
placée sous le petit radical soit positive, c'est-à-dire que
l'on ait
[m -f- ar*)» > 5m%
ou m -f- 2r' > 7w\/5.
Il en résulte la condition
ou
Si cette condition est remplie, les deux racines de l'équation (4) du second degré en x^ étant réelles et positives, la formule (5) donne pour x deux valeurs réelles et positives.
ÉQUATIONS BICARRÉES. 235
^1 Appel(Mia-les x' et x",
(m + ar*) — y/(m + 2r')' — 5m-
(m + ar*) -f \/(m + ar*)' — 5m"
Si Ton substitue chacune de ces valeurs dans l'équa-
ticw (5), on aura pour y deux valeurs correspondantes y' et
y"^ Hais la valeur de y doit aussi être positive ; il faut donc
<rue Ton ait
Cette condition est toujours remplie pour la première raoijttea^; car on a
, m + ar* — ^(m + ar*)* — 5m*
, en ^anaformant ,
m -\~ ar* -f- v^(m -j- ar')' — 5m' *
l-« dénominateur étant plus grand que m , la fraction est plus petite que m.
Quand on remplace rc* par m, le premier membre de
Véquation (4) devient égal à /^m{m — r'). Mais ce tri-
^ime peut être mis sous la forme
^n a donc
Wsque a/* est plus petit que m, le premier facteur est pos^, et les deux différences m — x"* et m — r* ont le œftee signdE 8i m> r% on aura x"* <fw, et la seconde radne a/', donnant aussi pour y une valeur positive , sera admissible. Mais si m < r*, on aura jj'" > m, et la seconde ndne devra être rejetée.
236 LIVRE m. — CIUP. lY.
En résumé , pour que le problème soit possible , il fi que la surface totale du cylindre soit plus petite
^r*(\/5 + i). Si cette surface est plus petite que aitrV / problème admet deux solutions ; si la surface est plus grande que 27cr% tout en étant moindre que le maximum » le pit>* blême n'admet qu'une solution.
On voit par là que lorsqu'on fait varier le rayon x da cylindre de o à r, la surface augmente de o au TnaTimni»
^r* (v/5 + l)» pour diminuer ensuite de ce maximum à 2«fV ^
* Transformation des expressions
de la forme y ± a ^.
180. Les quantités irrationnelles de cette forme provien-* ^ nent , comme nous l'avons vu, des équations bicarrées; il est possible quelquefois de les transformer en une somme ou en une différence de deux radicaux simples , et ceci oifire un certain avantage en rendant le calcul plus simple et plus facile. Mais nous allons d'abord établir un principe qui noo^ servira. .
Lorsque deux quantités incommensurables de la formr
aijz/b, les lettres a et h désignant deux quantités commenr surables^ sont égales ^ les parties commensurables sont égales^ ainsi que les parties incommensurables. Je dis par exemple «
que l'égalité
a-i-fb=za' + s/b',
dans laquelle les lettres a et a' désignent des quantités com« mensurables quelconques, b et 6' des quantités commensura^ blés non carrés parfaits, ne peut avoir lieu que si l'on a séj^urément a=a'^b = b'. En effet, del'égalité préc^dipiei on déduit
et , en élevant au carré les deux membres ,
b= (a' — ay- + b'-i-ii[n'—a) sjl' \
iQDÀTIONS BICARRÉES. 2S7
à a était différent de a', on aurait
V*- îK^^j '
ei la quantité incommensurable ^¥ serait égale à une quantité commensurable, ce qui est impossible , puisque a = a\ tm a aossi b = V.
Proposons-nous m^tenant de transformer l'expression
ya + ^b, dans laquelle a et 6 désignent des nombres poâtifs commensurables , en une somme de deux radicaux amples. Posons donc
RoQS voulons que les deux nombres cherchés a; et y soient coDmensurables. En élevant les deux membres au carré, ODa
a + ^ = x + y + ik^'xy.
h vertu du principe précédemment établi , cette égalité ne peut avoir lieu que si l'on a séparément
HoQS connaissons la somme et le produit des deux inconmes; ces deux inconnues sont donc les racines de l'équation du second degré
tt' — ûtt + 7 = 0 ,
a± Ja* — b
On voit que les nombres cherchés seront commensurables lorsque la qùîtntité a* — 6 sera un carré parfait. En désignant par h^ ce carré paifait, on aura ainsi
288 LITRE 111. — catp. ir.
181. La transformation de Texpression \a — y^ feetuera dd la même manière. On posera
d'où Ton déduit •
^ — V'é = ar + y — a v^xy , et par suite
Les valeurs de x et de y sont donc les mêmes que j demment. La transformation sera possible si la qu; a' — 6 est un carré parfait. En désignant par fc* ce ( on aura
Applications, i** Transformer Texpression y 7 + La quantité 7' — 15 ou 36 étant égale au carré de transformation est possible et Ton aura
2* Transformer l'expression v^6 — 2 y/5. On la n
sous la forme y 6 — v^'20, en faisant passer le facte sous le radical.
La quantité 6' — 20 ou 16 étant égale au carré de transformation est possible et l'on aura
iQUATIONS TRINOMES. 289
* ÊijuaHons trinômes.
