PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES

Dèflnilion.

183. On appelle progression arithmétique une suite de quantités telles que la différence entre deux quantités consécutives est constante. Ces diverses quantités sont les termes de la progression. L'excès d'un terme quelconque sur le précédent se nomme raison de la progression.

La progression est croissante lorsque ces termes vont en augmentant. Dans ce cas , la raison est positive. Ainsi la progression croissante

a pour raison + 5 .

Au contraire la progression est décroissant el orsque ses termes vont en diminuant. Dans ce cas , la raison est négative. Ainsi la progression décroissante

f 30 . 17 . i4« Il .8.5.2.

^ pour raison— 3,

244 LIVRE IV. — CIIAP. I.

Théorème I.

184. Dans une progression arithmétique ^ un terme d^ rang quelconque égale le premier plus autant de fois la rai — son quil y a de termes avant lui.

Appelons a^by Cy dj les différents termes de la pro —

gression; r la raison. D'après la définition même de la progression, le second terme égale le premier, plus la raison ^

Le troisième terme égale le second plus la raison , et paw conséquent le premier plus deux fois la raison ,

Le quatrième terme égale le troisième plus la raison, et pax* conséquent le premier plus trois fois la raison ,

et ainsi de suite. En général le terme qui occupe le n* rang et qui par conséquent en a n — i avant lui , égale

Ainsi la progression arithmétique peut être mise sous la

forme

fa.a + r. « + ar . a + 3r

186. Remarque. Les termes d'une progression arithmétique croissante augmentent indéfiniment de manière à devenir plus grands que toute quantité donnée. En effet, le terme de rang n sera plus grand que la quantité donnée A , si l'on a

a + (n — i)r> A, on ^

FROGKKSSIONS AKITUMÉTIQUES. 2A5

et, en divisant par le nombre positif r,

Ainsi, dès que le rang surpasse la quantité h i, le

tI tenne surpasse la quantité A, si grande qu'elle soit. ^l Considérons, par exemple, la progression croissante indéfinie

Pour avoir un terme plus grand que looo, on prendra

c'est-à-dire

Le 354' terme est plus grand que looo.

186. Insérer entre deux quantités données un certainnombre de moyens arithmétiques. On appelle moyens arithmétiques, insérés entre deux quantités données , des quantités qui forment une progression arithmétique dont les deux quantités données sont les deux extrêmes. La question revient à trouver la raison de la progression.

Soit insérer n moyens arithmétiques entre les deux quantités a et 6. Le terme b de la progression égale le premi^ terme a, plus autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui , c'est-à-dire plus n -f i fois la raison. On

a donc

d'où Ton déduit

2â6 LIVRE IV. — GHAP. I.

Ainsi on obtient la raison delà progression^ en diviiatU différence des deux qiuintités données par le nombre ( moyens à insérer plus un.

Si, par exemple, on veut insérer 5 moyens entre les de nombres 2 et 20, on prendra

ao — a et Ton formera la progression

Ta.5.8..ii .i4- 17. ao.

Théorème U.

187. Siy entre deux termes consécutifs d'une progressa arithmétique^ on insère le même nombre de moyens, les pr^ gressions partielles ainsi obtenues forment une seule et min progression.

En effet, puisqu'on insère le même nombre de moyei entre deux termes consécutifs et que la différence de 0 deux termes est constante, la raison est la même dai toutes les progressions partielles; et comme le demi terme de chacune d'elles est le premier de la suivante , c progressions partielles se continuent de manière à ne form qu'une seule et même progression.

Théorème IIl.

188. Dans toute progression arithmétique^ la somme deux termes également distants des extrêmes est consîan

Soit la progression

"«"Cft • C/ • C •••••••••• /» • A* • l m

Je considère le second terme et Tavant-demier ; le $ cond terme égale le premier plus la raison ,