PR0€RE88I0NS ARITHMÉTIQUES
ravaatrdoniier ^;ale le dernier, moins la raison,
h ajoutant ces deux égalités membre à membre , on a
b+k=a+L On a de même, en considérant les termes c et A,
d'où l'on déduit
Et ainsi de suite.
Lorsque la progression contient un nombre impair de termes, il y a au milieu un terme également distant des deux extrêmes. Deux fois ce terme égale la somme des extrêmes.
Ainsi dans la progression
les termes 2 et 20, 5 et 17, 8 et i4, donnent la même somme 22 , qui est égale à deux fois le terme du milieu 1 1 .
Théorème IV.
189. La somme des termes d'une progression arithmétique égale la moitié du produit obtenu en multipliant la i(nnme des extrêmes par le nombre des termes.
Soit toujoxurs la progression
appelons n le nombre des termes, s la somme des termes, ^ écrivons cette somme au-dessous d'elle-même en ordre
5 = / + *+* '\'C-\-b-ita.
2â8 LiHRE IV. — CHIP. J.
On voit que les deux tennes placés Tun âu-^essous de Tautri sont également distants des extrêmes dans la progression et que par conséquent leur somme est constante et égali à la somme des extrêmes a+ I. Si donc on ajoute les deus sommes terme à terme, la somme totale 2s se composera de la somme des extrêmes répétée autant de fois qu'il y s de termes dans la progression. On aura ainsi
d'où
Par exemple , la somme des termes de la progressif'
est 77.
Si Ton remplace le dernier terme l par sa valeur
l = a + {n—i)r, on obtient cette autre formule
Applications, i** La somme des n premiers nombres entier
est égale à
v/ La somme des n premiers nombres impairs
1 +3 + 5. ... +(2n — 1), est égale à n'.
Ainsi
,+3 = 2», 1+3 + 5 = 5% 1+3 + 5 + 7 = 4% elc
3* Trouver le nombre des termes d'une progression arithmétique 9 connaissant le premier terme , la raison , et la somme des termes.
PROGUSSIONS ARITUUÉTIQUES.
^1 Appek»i8 1 la somme des termes ; la formule
n(n— i) s=zna -] — i • r
Il ^^^^^^ P^^ déterminer n, une équation du second degré
te dernier terme étant négatif, les deux racines sont toujours réelles et de signes contraires. On rejettera la racine native. Pour que la racine positive soit admissible, il faut qu'elle soit entière.
4* Trouver cinq nombres en progression arithmétique ,
connaissant la somme des termes et celle de leurs carrés.
Appelons a et 6' les deux sommes données; désignons
par X le terme du milieu et par y la raison. Les différents
termes de la progression s'écriront
rx — lii/ . X — y .X .X -{- 1/ . X -\- 2y,
et Ton aura les deux équations
5x =:a y 5x*-p ioy^ = 6^
PROCIESSIONS GÉOMÉTUQUES.
Définition.
190. On appelle progression géométrique une suite de quantités telles que le rapport de deux consécutives est constant. Le rapport de chaque terme au précédent se . nomme raison.
La progression est croissante, lorsque la raison est plus grande que l'unité. Ainsi la progression géométrique croissante
a pour raison 3.
La progression est décroissante, lorsque la raison est plus petite que l'unité. Ainsi la progression géométrique décroissante
ff 1458 : 486 : i6a : 54 : 18 : 6 : a
a pour raison ■=.
Théorème I.
191. Dans une progression géométrique, un terme de rang quelco7iqu£ égale le premier terme multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui précédent.
Appelons a, 6, c, d, les différents termes de la
FBOGRES8ION8 GÉOMÉTRIQUES. 261
progreasioii, r la raison. D'après la définition même de la prc^r^ssion géométrique, le second terme égale le premier multiplié par la raison,
Le troisième terme égale le second multiplié par la raison , et par conséquent le premier multiplié par la seconde puis- 9aoce de la raison,
Le quatrième terme égale le troisième multiplié par la raison, et par conséquent le premier multiplié par la troisième pmssance de la raison,
rf = cr = ar*r = ar*^
et ainsi de suite. £n général le terme qui occupe le h* rang, et qui par conséquent en a n — i avant lui, égale
AiDsi la progression géométrique peut être mise sous la forme
les différents termes sont égaux au premier multiplié par les pmssances successives de la raison.
li)2. Remarques. Les termes d'une progression gèomèfn'ftM troiisanit augmentent indéfiniment.
Puisque la progression est croissante, la raison r est plus grande que l'unité, et nous pouvons la représenter par 1 -|- a (a étant une quantité positive, aussi petite qu'on veut). Considérons d'abord la progression
formée par les puissances successives de la raison. Cher-
