A LIVRE IV. — CHAP. II
Soit la progression
Je considère le second terme et ravant-demier ; le secG terme égale lé preinier multiplié par la raison ,
Tavant-dernier égale le dernier divisé ps^ laraisoii,
r On a donc
bk =- al.
On a de même , en considérant les deux termes c et A ,
d'où Ton déduit
chzsihk, et ainsi de suite.
Lorsque la progression contient un nombre impair terme% il y a au milieu un terme également distant des irêroes. Le carré de ce terme égale le produit des extrèn
Ainsi dans la progression
les termes 2 et i458, 6 et 486, 18 et 162 donnent le mi produit 2916, qui est le carré du terme du milieu 54.
Théorème IV.
197. Le produit des termes d'une progression gèomélr\ égale la racine carrée du produit des extrêmes élevé à puissance marquée par le nombre des termes.
Soit la progression
Appelons n le nombre des termes, P le produit des ten
PROGRESSIOIIS GÉOMÉTRIQUES. 255
ivons ce produit au-dessous de lui-même en ordre inverse.
P = a6c ûW,
P = tt cba.
voit que les deux facteurs placés Tun au-dessous de l'autre it des. termes également distants des extrêmes dans la agression, et que par conséquent leur produit est constant ^al au produit des extrêmes aï. Si donc on multiplie les u produits l'un par l'autre, le produit total se composera produit des extrêmes élevé à une puissance marquée par nombre des termes. On aura
P« = (alf ; ù
p = s/{al)\ En remplaçant { par sa valeur
obtient cette autre formule
- flvn-l)
i n'exige plus l'extraction d'une racine carrée; car l'exjant n{n — i), produit de deux nombres entiers consécuj , est toujours pair.
Théorème V.
198. On oblieni la somme des termes d'une progression métrique en retranchant du premier terme le dernier dtiplié par la raison et divisant la différence par (unité >in$ la raison.
A^ppelons S la somme cherchée,
S = a + ar -f- ûr* + ar^-\
Multiplions-la par la raison r, nous avons
Sr = /?r + or* -for* -^nr^.
256 LIVRE IV. — CHAP. lU
Si nous retranchons cette seconde égalité de la première , tous les termes se détruisent dans les seconds membres, excepté le premier et le dernier, et il vient
S(i — r)=^.a-^ar''j d'où l'on déduit
a — ar**
ou
On emploie cette formule telle qu'elle est si la progression -
est décroissante. Mais si la progression est croissante , les ^
deux termes de la fraction étant négatifs, on changera leurs 4 signes, et l'on aura
Exemple : la somme des termes de la progression géomé — trique croissante
est, d'après la formule (2)
La somme des termes de la même progression écrite en ordre inverse et alors décroissante est, d'après la formule ( 1 ) ,
Remarque. On obtient aussi les formules précédentes en écrivant la somme cherchée sous la forme
et remarquant que la parenthèse est le quotient de 1 — r*
PaOGKESStONS GÉ0MLTU1QUBS. 267
par 1 ~r (n* 7&), ce qui donne immédiatement
Théorème YL
1^. La somme des termes d'une progression géométrique décroissante à f infini tend vers une limite égale au premier terme divisé par t unité moins la raison.
Supposons que la progression géométrique décroissante
TT a : or : or* :
se prolonge indéGniment. La somme des n premiers termes est donnée par la formule
Si Ton prend un nombre de termes de plus en plus grand , là raison r étaôt plus petite que l'unité en valeur absolue, 1« terme ar* de la progression décroissante diminue de
plosen plus, et tend vers zéro, ainsi que la quantité
ar
1 — r ^ mesure que n augmente ; donc la somme des termes se
''pproche indéfiniment de la quantité fixe , de manière à en différer aussi peu qu'on voudra. En \m mot, la somme des termes tend vers la limite .
Le mode de convergence de la somme des termes vers sa limite n'est pas le même suivant que la raison est positive ou n^ative. Pour fixer les idées, supposons que le premier terme a soit une quantité positive. Lorsque la raison est positive, tous les termes de la progression sont positifs ;
dans ce cas, il est évident que la somme va en augmentant
