LIVRE IV. — CHAP. III
serrés. Si, par exemple, on insère mille moyens géo triques entre deux termes consécutifs , la nouvelle prog sion renfermera mille nombres entre i et a, mille enti et a* , etc. En insérant le même nombre de moyens ar métiques entre deux termes consécutifs de la progress arithmétique, on formera une nouvelle progression ar métique qui donnera exactement les logarithmes de tous nombres inscrits dans la nouvelle progression géométriq et approximativement les logarithmes de tous les au nombres.
Soit n — 1 le nombre des moyens insérés. Appelas la raison de la nouvelle progression géométrique , r c de la nouvelle progression arithmétique ; on a
et les deux nouvelles progressions s'écrivent
fj 1 : î : ç* : y»: ,
f o. r . ar . 3r
On voit que la raison r de la nouvelle progression ai métique est aussi petite qu'on veut. Je vais démontrer l'excès de la raison q de la nouvelle progression géométri sur l'imité peut être aussi rendue plus petite que toute qi tité donnée. En effet, Tinégalîté
Va < i +a,
sera satisfaite si l'on a
a<{i+a)% ou
(I + fxY > a.
Or, si petit que soit «, on sait (n*» 192) que n peut pris assez grand pour que (1 +«)** surpasse la quai donnée a. Pour cette valeur fle n et pour toutes les val< plus grandes, la raison q sera donc moindre que 1 -f-a.
LOGARITHMES. lOS
Soit A QD nombre positif quelconque plus grand que l'unfté; si ce nombre fait partie de la nouvelle progression géométrique, le terme correspondant de la progression arithmétîqTie donnera exactement son logarithme. Si ce flomlm ne fait pas partie de la progression géométrique , îwa compris entre deux termes consécutifs ç* et g*^* ; or h différence de ces deux termes
étant moindre que A», puisque g"* est plus petit que A , et ç— 1 plus petit que «, peut être rendue aussi petite qu'on Teat; le nombre A différera donc de chacun des termes qui le comprennent aussi peu qu'on voudra. On prendra approximativement pour le logarithme de A celui de l'un d'eux , soit mr, soit (m + i)r; rerreiu* commise sur ce logarithme,
étant moindre que la raison r ou - , sera aussi petite qu'on
voudra.
Propriétés fondamentales des logarithmes.
Théorème I.
202. Le logarithme du produit de plusieurs facteurs égale ^ fomme des logarithmes de ces facteurs. Considérons les deux progressions
^ moyen desquelles on définit les logarithmes. Nous remarquons que les termes de la progression arithmétique loties multiples successifs de la raison, et que les termes de la progression géométrique sont les puissances successives de la raison. Ce§ progressions sont disposées de malière que les termes qui occupent le même rang soient placés l'an au-dessous de l'autre; on voit que, dans deux
26â LIVRE IV. — cukp. m.
termes correspondants 9*" et mr^ le même nombre m ser la fois d'exposant et de multiplicateur.
Je multiplie deux termes quelconques 9*" et q^ de la pr gression géométrique, ce qui se fait en ajoutant les exp sants ; le produit 9*"^" est aussi un terme de la progressic géométrique. J'additionne leurs logarithmes , c'est-à-dii les deux termes correspondants mr et nr de la progresse arithmétique ; la somme {m+n)r est aussi un terme de '. progression arithmétique. Or on voit que le produit 9**"< la somme {m+n^r se correspondent dans les deux progre sions. Donc le logarithme du produit égale la somme cl( logarithmes des facteurs.
En général, soient a et 6 deux nombres quelconques, c
aura
\og{a Xb) = loga + log 6.
Ce théorème s'étend évidemment à un nombre quelco que de facteurs.
Théorème II.
203. Le logarithme d*un quotient égale le logarithme dividende moins le logarithme du diviseur.
Appelons c le quotient de a par b (a étant supposé pi grand que b). On a
a=zbxc, et, d'après le théorème précédent,
log« =log6 4*log^î d'où
log c = log a — log A.
Ainsi
log - = log /ï — logé.
Théorème III.
. Lb logarithme de la puissance d'un nombre égale k logarithme de ce nombre multiplié par l'indice de la puis-- HÊce.
Ed effet, la puissance a** étant le produit de m facteurs igaox à a, on a
û* = aXaXûX ;
d'où
logo* =: log a + log tt + log a -|logû* = m log a.
Ainsi le logarithme du carré d'un nombre égale deux fois e logarithme de ce nombre , le logarithme du cube égale trois fois le logarithme du nombre, etc.
Théorème IV.
%5. Le logarithme de la racine d'un nombre égale le logarithme du nombre divisé par f indice du radical. Appelons 6 la racine m' de a ; on a
^^ d'après le théorème précédent.
■d'où
^hïsi
loga = mlog6;
log Va =
\oga m
^àx exemple , la racine carrée ou la racine cubique d'un Nombre a poiu* logarithme la moitié ou le tiers du loga- '"'thitie de ce nombre.
