Î60 LIVRE IV. — CHAP. III
tuer six opérations sur les nombres : trois opérations rectes et trois opérations inverses. Les trois opérations rectes sont l'addition , la multiplication et l'élévation i puissances. Les trois opérations inverses sont la soustn tion , la division et l'extraction des racines. La soustracti est l'opération inverse de l'addition; la division est Topé tion inverse de la multiplication ; l'extraction des racb est l'opération inverse de l'élévation aux puissances.
Il y a ainsi trois ordres d'opérations » comprenant cli cun une opération directe et une opération inverse. I opérations du premier ordre, addition et soustraction, s'» fectuent facilement et avec rapidité ; celles du second ordj multiplication et division, sont déjà plus longues et pi difficiles ; enfin celles du troisième ordre, puissance etracîi deviennent très-longues et très-pénibles. Les propriétés è logarithmes, que nous venons de démontrer, permette de remplacer les opérations du second et du troisième Oîi par celles d'un ordre moins élevé. Ainsi la multipUcati et la division sont ramenées à l'addition ou à la soustn tion des logarithmes, la puissance revient à une multip cation, la racine à une division. On comprend par là toi l'utilité des logarithmes.
Logarithmes vulgaires.
207. Les deux progressions par lesquelles on définit logarithmes dont on fait habituellement usage , et qu appelle pour cette raison logarithmes vulgaires^ sont suivantes
TT 1 : 10 : 100 : looo : ,
pans ce système, le logarithme de i o est i , celui de i qq
t, celai de looo est 3; en général lo** a pour logarithme le nombre entier n.
Od nomme base d'un système de logarithmes le nombre qui a pour logarithme l'unité. Le système des logarithmes ?ol|gaires , que l'on appelle aussi logarithmes de Briggs , a pour base le nombre dix , qui est la base de notre système demimération.
208. Les logarithmes ont été calculés en décimales; la partie œtiëre d'un logarithme s'appelle caractiristique. Il est aisé de voir que la caractéristique du logarithme d'un wmbre renferme autant d'unités qu'il y a de chiffres dans kfortie entière du nombre moins un. En effet, tout nombre compris entre i et lo n'a qu'un chiffre à sa partie entière ; m logarithme, étant compris entre o et i , aura o pour pirtie entière ou pour caractéristique. Tout nombre compris entre lo et loo a deux chiffres à sa partie entière; son logarithme , étant compris entre i et 2 , aura 1 pour caracté* ristique. Dé même, tout nombre compris entre 100 et 1000 it 3 chiffres à sa partie entière, son logarithme» étant compris entre s et 3 , a 2 pour caractéristique. En général tout nombre compris entre 10* et 10"^* a n + 1 chiffres à sa partie entière ; son logarithme, étant compris entre n et a + 1 , an pour caractéristique.
209. Le logarithme de lo** est n. Si Ton multiplie un nombre a par 10*, on a
log (a X 10*) = log a + log 10" = log a + n.
Ia partie décimale du logarithme reste la même ; il suffit 'ajouter n unités à la caractéristique.
Si Ton divise un nombre a par 1 o*, on a
•og — z = loga — log lo*» = log a— n, 10*
268 LIVRE IV. — CHAP, Ilf.
La partie décimale reste la même ; il suffit de retrancher s unités de la caractéristique.
Ainsi, quand on multiplie ou quand on divise un nomtft par 10, 100, 1000..., tl suffit d'augmenter ou de dimt nuer la caractéristique du logarithme d'une ^ deux^ froii. unités.
Il en résulte que , lorsque deux nombres décimaux ne dif^ fërent que par la place qu'occupe la virgule , leurs logarithmes ont la même partie décimale et ne diffèrent que par la caractéristique. Ceci est important pour la facilité dei^ calculs , parce qu'on a souvent à déplacer la virgule dansles nombres décimaux.
Tables de Collet .
210. Les tables de logarithmes les plus usitées en Franoe sont les petites tables de La lande et les grandes tables d6 Callet.
Les tables de Lalande contiennent les logarithmes des nombres entiers de i à loooo, avec cinq décimales.
On a appris en arithmétique l'usage des tables de La.lande ; nous ne parlerons ici que des tables de Callet.
Les tables de Callet contiennent les logarithmes dei nombres entiers de i à 108000. La première partie de 1 table , nommée première chiliade (premier mille) , contief3 les logarithmes des 1200 premiers nombres avec huit dé cimales. La table change ensuite de disposition , et doni» les logarithmes des nombres de 10200 à 100000, av0 sept décimales; à la fin, la table se prolonge de locoo^ à 108000, avec huit décimales. Dans la colonne verticale im titulée N, on lit les dizaines des nombres ; les unités som inscrites au haut de la page et en tête des dix colonnes inti tulées o, 1, s,.. • 8, 9* La caractéristique n'e^tpas indi-
quée: il est facile de l'ajouter d'après la r^le énoncée. Dans la colonne voisine, on trouve les trois premiers chiffres décimaux de chaque logarithme ; les quatre suivants sont inscrits dans la colonne convenable. Si Ton veut, par exemple, le logarithme du nombre 35647, dans la colonne verdcale intitulée N on descendra jusqu'au nombre 3564, puis , dans cette ligne horizontale , on s'avancera vers la droite jusqu'à la colonne intitulée 7, et Ton écrira
log 55647 == 4^5520250.
Le nombre ayant cinq' chiffres , on commencera par écrire sa caractéristique 4 ; les trois premiers chiffres décimaux 552 sont conmiuns à un assez grand nombre de logarithmes ; on trouve les quatre derniers, 023o, dans la colonne verticale intitulée 7.
Pour effectuer des calculs par logarithmes, il faut savoir résoudre ces deux questions ; i* trouver le logarithme d'un nombre donné ; a* trouver le nombre qui correspond à un logarithme donné.
Trouver le logarithme d'un nombre donné.
211. Trouver le logarithme d'un nombre entier. Si le nombre est dans la limite des tables, s'il est plus petit que 108000 , on trouve immédiatement dans les tables le logarithme demandé.
Si le nombre surpasse la limite des tables, on l'y ramène, en le divisant par une puissance de 10. On demande, par exemple, le logarithme du nombre 356478. Âfm de rendre ce nombre plus petit que 100000 , on le divise par 10, ce qui donne le nombre décimal 3564798. La question revient à chercher le logaritlime de ce nombre décioial;car, une fois ce logarithme trouvé , en ajoutant 1 à sa caractéristique , on aura le logarithme demandé.
270 LIVRE iV. — CilAP. III.
Les tables donnent le logarithme de la partie 95647- l<a différence entre ce logarithme et celui d bre suivant 35648 est 122 unités du septième ordi mal. Les accroissements du logarithme ne sont pas tionnels aux accroissements du nombre ; mais , q s*agit d'accroissements plus petits que Tunité, et p séquent très-petits par rapport au nombre lui-mè peut admettre la proportion sans erreur sensible. * donc : puisque, pour une augmentation d'une uni le nombre 35647, il faut ajouter 122 au logarithm* une augmentation de 0,8 dans le nombre il faudra au logarithme les ~ de 122, soit ^— , ou 98 ui septième ordre , en négligeant les unités plus petit
Mais on trouve cette augmentation toute calcul les tables de Callet ; car, dans la dernière colonne \ à droite, on voit, au-dessous de la différence 122, tableau indiquant les augmentations du logarith correspondent à 1,2, 3, 9 dixièmes. Ainsi
log 35647 = 4,552023o pour 0,8 98
log 356478 = 4,5520328
En ajoutant une unité à la caractéristique , on a
log 556478 = 5,5520328.
Soit encore à calculer le logarithme du nombre ai En divisant par 100, on ramènera le nombre pro nombre décimal 25432,47* La table donne le log de la partie entière. La table des parties proportii montre qu^à une augmentation de 0,4 dans le nom respond une augmentation 68 dans le logarithme. à trouver ce qu'il faut encore ajouter pour 0,07. dans la table qu'à 0,7 correspond une augmentât]
k Ofùj correspondra donc une augmentation dix fois plus |0tite« soit 19. Il faut donc au logaritlune de 2543 a ajouter {8+19, c'est-àrdire 80. Faisant le calcul de tète, on écrira de suite
log 35432,47 = 4,4o5388ô.
Ed ajoutant 2 unités à la caractéristique , on en déduit
log 2543247 = 6^4o53885.
