LITRE IV. — CHAP. IT

Ainsi la population croit année par année, comme les t d'une progression géométrique dont le premier terz 4o millions et la raison ~. On demande le loi* ten la progression : en désignant par x ce terme, on a

5oiy*« 3oo/

X = 4<>ooeooo X ( ^TT )

236. Problème VII. Les populations de deux États Vune de ao millions d*habilants^ Vautre de 3o ntilliof première s' accroît chaque année de ~^, la secofide é Dans combien de temps les deux populations seron égales ?

rappelle n le nombre d'années cherché ; après ce m d'années, les deux populations étant égales, on aura

/aoi\* ^ /3oiV

aooooooo X I 1 = 00000000 X ( -= — ) :

\2oo/ \3oo/

d'où

ax( ) =3X (;r— ,

\ aoo/ \3oo/

/aoiX5oo\"5 \aooX3oi/ a'

/ôoSX^^S^

si l'on prend les logarithmes , il vient

n(Iog6o3 — Iog6oa)=log3 — loga,

log 3 — loga

""logôoS — log 60a'

fî = a44 sJ^s et une fracUon.

ANUriTÉS. SOS

QUESTIONS d'annuités.

237. Phoblème Vin. Une personne place chaque année une imme a pendant n années , et laisse Us capitaux et les tntirUs s*aeeumuler. On demande quelle sera la valeur totale iitous ces placements après ces n années? Le premier versement , étant placé pendant n années , iqniert une valeur égale à a(i +f)"; le second, étant fboé pendant n — i années, acquiert une valeur égale à f (i-f O^'S etc. ; enfin le dernier, ne restant placé qve feodant un an , vaut a (i + 1*)* La valeur totale après les • années est donc

cfest la somme des termes d'une progression géométrique doDtIa ndson est i + ^s cette somme égale

^ ^^a(t+rri-fl(i+r)^a(i+r)[(i+r)'>-i]^

D est impossible de soumettre directement cette formule tt calcul logarithmique ; on est obligé de fiûre deux calculs *^és. On calculera d'abord la quantité (i+r)", puis A.

£x£]fPLE : On place chaque année looo francs pendant «0 ans à 5 pour loo.

A =: looo -^ — 2-i — ^ Lz=i aioooX(i,o5*' — i).

Gocal «e IM*^'

log i^o5 = 0,02118930 *^ log i,o5 = 0,4237860 i,o5" = 2,6533

GalcBl ie A.

log :iiooo = 4>3a2aig3 log 1,6533 = o,ai835i7

log A = 4>54o57io A = 34719^,30