U\RE II, CHAP. I

Nous représenterons en général les m objets par les premières lettres de T alphabet

et nous désignerons par le symbole A* le nombre des arrangements que l'on peut former avec ces m objets pris n à n de toutes les manières possibles.

On obtient évidemment los arrangements des m lettres une à une, en prenant chacune d'elles séparément, ce qui donne m arrangements,

Ainsi

Nous obtiendrons les arrangements des m lettres deux à deux en mettant à la suite de la première lettre a successivement chacune des autres lettres, à la suite de la seconde lettre h successivement chacune des autres, et ainsi de suite, ce qui donne le tableau suivant :

abf acy adj , aky

ba, bc, bd, , bk,

cafCbjCdf.».,*yCk^ r

ka, kb, kCy , kh,

La première ligne horizontale contenant tous les arrangements qui commencent par la lettre a, la deuxième tous ceux qui commencent par la lettre 6, etc., nous avons ainsi formé tous les arrangements des m lettres deux 4 deux. Puisque chaque ligne horizontale renferme m — i arrangements, et qu*il y a m lignes, le nombre des arrangements

ARHAIV6EMENTS. 2S

COQteDu dans le tableau est m (m — i) ; on a donc

Aj[=m(m — i).

De môme , si à la suite de chacun des arrangements deux à deux on place chacune des m — 2 autres lettres, on forme les arrangements trois à trois :

abCy abdy , abk,

acb, acd^ , ack,

bacy hady , bàky

A la suite du premier arrangement ah de deux lettres, nous

avons écrit chacune des autres lettres c, d, fc; de

même, à la suite du second ac^ chacune des autres lettres

6, d, ft, etc. On a formé ainsi tous les arrangements

trois à trois ; car un arrangement de trois lettres se compose nécessairement d*un arrangement de deux lettres suivi d'une autre lettre. Le même arrangement n'est pas répété deux fois ; car les .arrangements d'une même ligne horizontale diffèrent par la troisième lettre, et deux arrangements de deux lignes différentes par l'arrangement des deux premières lettres. Glîaque ligne horizontale contient m — 2 arrangements ; il y am (m—* 1) lignes horizontales, autant que d'arrangements deux à deux; donc le nombre des arrangements des m lettres trois à trois est

on a donc

En continuant le même raisonnement, on arrive à la formule générale

A"=:wi(m — \)[rit — 2) {m — « + i)ï

24 LIVKE II, CHAP. I.

Le nombre des arrangements de m objets nànesl égal au produit de n nombres entiers consécutifs décroissants à commencer par m.

26. Il est bon de s'assurer que la formule précédente, écrite par induction, est générale. Supposons que Ton ait formé les arrangements des m lettres n — i à « — i , et que Ton veuille former les arrangements n à n. A la suite de chacun des arrangements n — làn — i, on écrira successivement chacune des m — n+ i autres lettres. On obtiendra de là sorte tous les arrangements n à n; car un arrangement de n lettres se compose d'un arrangement de n — 1 lettres suivi d'une autre lettre. Le même arrangement ne se trouve pas répété deux fois; car deux quelconques des arrangements ainsi obtenus diffèrent par la dernière lettre ou par l'arrangement desn— i premières lettres. Chaque arrangement ancien donnant m — n -[- 1 arrangements nouveaux, on a la relation générale

On en déduit, en donnant successivement à n les valeurs 2,5,4» w,

Kn=KnXi^--h

Si l'on multiplie toutes ces égalités entre elles, les facteurs intermédiaires disparaissent, et Ton obtient la formule