AI

2*» Combien y a-t-îl de nombres composés de deux chiffres significatifs différents? Autant qu'on peut former d'arrangements avec les neuf chiffres significatifs deux à deux,

Aj = 9.8 = 72.

3' Combien y a-t-il de nombres composés de cinq chiffres significatifs différents? Autant qu'on peut former d'arrangements cinq à cinq avec les neuf chiffres significatifs.

AJ =9.8.7.6.5 = i5iao.

Permutations.

27. On appelle permulalims de m objets les différentes dispositions que Ton peut donner à ces m objets, en les plaçant les uns à côté des autres sur une ligne droite. Chaque permutation contient tous les objets, et deux permutations ne diffèrent que par l'ordre des objets.

Ainsi, avec deux lettres a et &, on peut former deux permutations

ab, ba.

Nous désignerons en général par P^ le nombre des permutations dç m objets. Il résulte de la définition que les permutations de m objets ne sont autre chose que les arrangements de ces m objets pris tous ensemble, c'est-à-dire m h m; on a donc, suivant la notation habituelle,

OU, si Ton change Tordre des facteurs, P,„=i.2.3.4 m-

liB nombre des permutations de m objets égale le produit des m premiers nombres entiers.

Applications. 1"* Combien peut-on former de mots de trois lettres avec trois lettres données? C'est le nombre des permutations de trois lettres

2* De combien de manières peut*>on diàposer dix soldats en ligne? C'est le nombre des permutations de dix objets

Pj^ s= 1 .a.5.4.5.6.7.8.9. 10 = 36a88oo.

28. Nous avons déduit la formule des permutations de celle des arrangements comme cas particulier. Voici comment on peut établir cette formule directement.

On ne peut évidemment donner qu'une disposition à une lettre a; ainsi

Aveo deux lettres a et b, on peut former deux permutations

et l'on a

Pj=1.2.

Si, dans chacune des permutations précédentes, on introduit la lettre c à toutes les places, à la fin, au milieu, au commencement, on obtient les permutations de trois lettres a, 6, c,

«ic, acby cab^

bac, bca, cba.

On a formé ainsi toutes les permutations de trois lettres ;

car ime permutation de trois lettres se compose d'une per^ mutation des deux premières lettres a et b à laquelle on ajoute la troisième lettre c. La même permutation ne se trouve pas répétée deux fois ; car deux permutations quelconques diffèrent, soit par la place de la lettre c, soit par la disposition des deux autres lettres. Chacune des permutations précédentes donnant trois permutations nouvelles, on a

De même, si dans chacune des permutations des trois lettres a, 6, c, on introduit la lettre d à toutes les places, et il y a quatre places, deux intermédiaires et deux extrêmes, on obtient les permutations des quatre lettres a, 6, e, d; chacune des permutations précédentes donnant quatre permutations nouvelles, on a

En continuant le même raisonnement, on arrive à la for* mule générale

Combinaiêonê.

20. On appelle combinaisons de m objets n à n les différents groupes que l'on peut former avec ces m objets en les prenant n à n, de toutes les manières possibles, de façon que deux groupes diffèrent au moins par la nature d'un objet. Dans les combinaisons on n'a pas égard à la disposition des objets.

Si l'on a m lettres et que Ton imagine qu'elles représentent des quantités différentes, on peut concevoir les combinaisons de ces m lettres nkn comme les différents

produits que Ton peut former avec ces m lettres, en les prenant n à n de toutes les manières possibles.

Par exemple, avec les trois lettres a^ b^ c, prises deux à deux, on ne peut former que trois combinaisons

aô, aCy bcy

tandis que Ton a six arrangements.

Nous désignerons en général par C* le nombre des combinaisons de m objets n à n. La formule des combinaisons se déduit de celle des arrangements et de celle des permutations. Imaginons en effet les combinaisons de m lettres. n k n formées. Si nous donnons aux n lettres qui composent chacune de ces combinaisons toutes les dispositions possibles, c'est-à-dire si nous permutons ces n lettres, nous obtiendrons les arrangements des m lettres n kn. Nous aurons ainsi tous les arrangements ; car un arrangement quelconque est une combinaison dans laquelle les n lettres qui composent cette combinaison sont disposées dans un certain ordre; et nous n'aurons pas deux fois le même arrangement 5 car les arrangements fournis par une même combinaison diffèrent par l'ordre des lettres, et ceux qui sont fournis par des combinaisons différentes diffèrent au moins par la nature d'une lettre. Chaque combinaison donnant un nombre d'arrangements marqué par P^, on a

A;=c;xPn;

d'où

et, en remplaçant par les valeurs connues,

Applications. Pour appliquer la formule, on écrit d'a« bord au dénominateur les n premiers nombres entiers, puis on écrit au numérateur autant de nombres entiers décroissants , à commencer par m.

l*" Nombre des combinaisons de 5 objets 2 à 2.

^ Nombre des combinaisons de 10 lettres 4^4-

3"* Nombre des combinaisons de 10 lettres 6 à 6.

4° Le nombre des combinaisons de m lettres une à une est m , ce qui est évident à priori.

5° Le nombre des combinaisons de m lettres m à m est

11 est évident en effet que si Ton prend toutes les lettres, on ne peut former qu'une seule combinaison.

Nous démontrerons sur les combinaisons deux théorèmes qui nous seront utiles par la suite.

30. Théorème L Le nombre des combinaisons de m oftjets n au est égal au nombre des combinaisons de ces m objets m — n à m-^n.

Supposons en effet que Ton ait m numéros dans une urne; si Ton en tire n, il en restera m— n dans l'urne; ainsi à chaque combinaison de n numéros correspond une