L1\BE 11, CHAP

combiDMson de m— n, et réciproquement On a donc

On peut d'ailleurs vérifier aisément r^gatUté des àm% nombres

ij ^

car si Ton multiplie les deux termes de la première fraction par le produit 1.2 {m-^-n)^ les deux termes de la

seconde par 1.9 n» les dtoominatetirs deviennent

égaux et l'on a au numérateur le produit des nombres entiers consécutifs de 1 à m; il vient de la sorte

"* "* 1.2 nXi.a (m — n)'

Par exemple, le nombre des combinaisons de 5 objets 4 à 4 6st égal au nombre des combinaisons de 5 objets 1 à 1 , le nombre des combinaisons de 5 objets 3 à 3 est égal au nombre des combinaisons 2 à 2.

31. Théorème II. Le nombre des combinaisons de m objets n à n est égal au nombre des combinaisons de m — 1 objets n à n, plus le nombre des combinaisons de m — 1 objets n— 1 an — 1;

En effet, les combinaisoQs de m lettres a^ by e,....r fc, prises n à n , peuvent être distinguées en deux catégories, celles qui ne contiennent pas une certaine lettre it, et celles qui la contiennent. La première catégorie se compose évi* demment des bombioaisous des m— 1 premières lettres n à n; On obtiendra celles de la seconde eatégwie sd formaM

PBOftABIUTS. 31

les CQQibmaisons des m — i premières lettres n^-*i à n-«-i , et ajoutant à chacune d'elles la lettre k. On a donc

in-J

On peut aussi yérifier facilement cette égalité au moyen de la formule des ciaubinaisons*

Par exemple ^ le nombre des combinaisons de 7 objets 3 à 3 est égal au nombre des combinaisons de 6 objets 3 à 3 , plus le nombre des combinaisons de 6 objets 2 à 2.

Probabilité.

3:^. On appelle probabilité d'un événement te rapport du nombre des cas favorables au nombre total des cas pos* sibles, lorsque tous ces cas sont également possibles. Je suppose qu'une urne renferme 12 boules d'égale grandeur, 7 blanches et 5 noires. On tire une boule au hasard, et I^on demande la probabilité pour chaque couteun II y a 12 cas possibles et également possibles : 7 pour les blanches^ 5 pour

les noires. La probabilité est donc — pour la sortie d'une

blanche, —^pour la sortie d'une noire.

La loterie se composait de 90 numéros; à chaque tirage il en sortait 5 au hasard. Une personne désâgne un ni»iér9, par exemple, le numéro 20 ; si le nuimi^o dés^iié m tirouve parmi les & numéros sortants, la pers^ine a gagné ; sinon elle a perdu. C'est là ce qu'on appelait prendre un eûitfuit 11 est facile d'évaluer là probabilité. Puisqu'on tire & numéros à chaque fois, le nombre de» e«s possibles est le nombre des combinaisons de go numéros de 5 à S,.

Les cas favorables sont tes combinaisons qui contiennent le numéro désigné 20; pour les former, imaginons que Ton ôte ce numéro 20 et que l'on combine les 89 autres numéros 4^4» puis que Ton ajoute à chacune de ces combinaisons le numéro 20; on aura de cette manière toutes les combinaisons qui contiennent le numéro 20. Ainsi, lo nombre des cas favorables est le nombre des combinaisons de 89 numéros 4 à. 4»

La probabilité de la sortie du numéro désigné, ou le rapport du nombre des cas favorables au nombre total des

cas possibles, est le quotient de Cj, par Cj^^, soit — ou -^.

Ainsi, sur 18 cas possibles, il y en a 1 favorable à la personne qui prend l'extrait, et 17 pour la loterie. Il faudrait donc parier 1 contre 17. La loterie, au lieu de 17 fois, ne donnait que 1 5 fois la mise.

Lorsqu'on désigne deux numéros, on prend ce qu'on appelle un ambe; si les deux numéros désignés sont tous deux parmi les cinq numéros sortants, on a gagné ; sinon on a perdu. Les cas favorables sont les combinaisons qui contiennent les deux numéros désignés ; on les formerait en combinant les 88 autres numéros 3 à 3, et ajoutant à chacune des combinaisons les deux numéros désignés. Ainsi, la probabilité de la sortie d'un ambe est le rapport

de CJa à C' , soit -~^^ ou •^. Il faudrait donc parier 2 ^ ^ 90.89 801

contre 799, ou 1 contre 899 + -; 1^ loterie ne donnait que

270 fois la mise«

FORMULE DU lilNOME. SS

On trouvera de même que la probabilité du terne est

— ^-7^, celle du qtiaterne^ =^. La loterie ne donnait

11748 ^ 5iio38

que 55oo fois la mise pour le terne» 76000 fois pour le

quaterne.