FORMULE DU BINOME

33. On sait que le produit de deux polynômes est égal à la somme des produits que l'on obtient en multipliant chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur. En général, le produit de plusieurs polynômes est la somme des produits que Ton obtient en prenant de toutes les manières possibles un terme dans chacun des polynômes proposés.

Proposons -nous d'abord d'efifectuer le produit des m facteurs binômes

en l'ordonnant par rapport aux puissances décroissantes dex. *

Le produit de ces m facteurs binômes est la somme des produits obtenus en prenant de toutes les manières possibles un terme dans chacun d'eux. Si l'on prend les m premiers termes, on obtient le premier terme ou"* du produit. Si l'on prend le second terme a dans le premier facteur binôme» et le premier terme x dans tous les autres, on ob-

tient le produit ax"^"^ qui est du degré m — i; prenaat de même le second terme 6 dans le second facteur binômç et le premier terme x dans tous les autres, on a bx"^^; en un mot, le second terme de l'an quelconque des facteurs binômes, combiné avec les premiers termes de tous les autres, donne au produit un terme en x'^^K Réunissant tous ces termes du degré m — i , on voit que o?*^* a pour multiplicateur la somme des m quantités a, b, ç, fc, somme

que pour abréger nous désignerons par S^. Ainsi le second terme du produit est S^x'^K

Prenons maintenant les seconds termes dans deux quelconques des factjpurs binômes^ et les premiers dans tous les autres, nous formerons les termes du degré m — 2, tels que abx"^"*, acx'^^^ bcx"^^^ etc. Si nous réunissons tous ces termes, nous voyons que a?**"*, mis en facteur commun, sera multiplié par la somme des combinaisons deux à deux des m lettres a, 6. ,. . . . . h. Désignons par S, la somme de ces combinaisons, le troisième terme du produit sera Sj»**-**

En prenant de même les seconds termes dans trois quelconques des facteurs binômes et les premiers dans tous les autres, on formera les termes du degré m — 5^ tels que aftca;"*""', abdx^^^ etc. Réunissant ces termes en un seul, et appelant S, la somme des combinaisons trois à trois des

lettres a, 6, fc, on obtient le quatrième terme Saâ?"*""' du

produit.

En général, si Ton prend les seconds termes dansn quelconques des facteurs binômes et les premiers dans les, m — n autres, on forme les termes du degré m — n; réunissant ces termes et représentant par S» la somme des

combinaisons w à n des m lettres a, 6, fc, on a le terme

général S^a?"*"* du produit.

On obtient les termes du premier degré en prenant

FOBMUL£ DU BINOME. 35

les seconds termes dans tous les facteurs binômes, excepté un, et le premier dans cet autre; ces termes réunis don^ nent T avant-dernier terme du produit S^^iX. Enfin le produit abc k des seconds termes de tous les facteurs binômes, produit que nous désignerons par S^, donne le dernier terme du produit demandé.

Ainsi le produit des m facteurs binômes se développe de la manière suivante :

a.m + S,x«-» + S,ar*"' +S,a?-- +S^.,x + S^.

34* Supposons maintenant que les quantités a, 6, c....k soient égales entre elles, le produit det m facteurs binômes

devient (a? + a)*".' Voyons à quoi se réduit le développement : la somme S^ des quantités a, 6, c....ft se réduit à ma, puisque chacune de ces quantités devient égale à a et qu'il y en a m. La lettre S, désigne la somme des combinaisons deux à deux de ces mêmes quantités; chacune de ces combinaisons devient égale à a* -, et il y en a un nombre marqué par le nombre des combinaisons de m lettres deux

à deux , soit — - — — — -; leur somme S, ^st dQ»c ég;sile à -J — ^^^^1^ a*. De môme S, désigne la somme des combi-

naisons trois à trois; chacune de ces combinaisons devenant égale 4 û* et leur nombre étant ^ v^~ ^) ^ — Zli/ leur

somme égale — ^ ^ ^a'.

En général, Sn désigne la somme des cçmbinaisQns nkn

des m quantités a^b^c k; ces quantités devenant égales

à a, chacune des combinaisons se réduit à a* ; leur nonabre étant le nombre des combinaisons de m lettres n à n, on a

j5 zrz • ■■ ■ ■• - ■ — — a •

Enfin, le dernier terme, ou le produit des m quantités

égales a, 6, fc, se réduit à à^.

On a ainsi la formule

, mlm—i){m — Q) , ^ . , , ^ « i • m

connue sous le nom de formule du binôme. Elle est très-fréquemment employée ; elle sert à former le développement d'une puissance quelconque d' un binôme. Le terme général , celui qui occupe le n + i ' rang dans le développement, est, comme nous l'avons dit,

Si dans la formule (i) on remplace a par — a, on obtient le développement de (x — a )*",

te — ar=i(xf^ oc*"** -I — i a'x"*"' — ±a^\

les signes alternent.

35. Remarque I. Dans la formule du binôme, les exposants de X vont en diminuant graduellement d'une unité, ceux de a vont au contraire en augmentant ; la somme des exposants de a et de a; dans chaque terme est constamment égale & m.

FOBMULE DU BINOME. 37

Le nombre des termes du développement est m + 1 4 car les exposants de x forment la suite des m premiers nombres entiers, plus l'exposant zéro du dernier terme,

en tout m + 1 termes.

36. Remarque II. Les coefficients des termes également distants des extrêmes sont égaux. Si l'on écrit la formule du binôme en laissajal les lettres qui marquent les nombres de combinaisons, on a

Le premier terme et le dernier ont tous deux pour coefficients l'unité, le sqpond terme et l'avant- dernier ont pour coefficient Cj^ et C^-^ mais, en vertu d'un théorème démontré (n"" 3o) , on sait que ces deux nombres sont égaux. De même les troisièmes termes, à partir des deux extrêmes, ont pour coefficients les nombres égaux C]^ et C^""', etc.

57. Remarque III. Les coefficients se déduisent les uns des autres par une loi très-simple : Multipliez le coefficient du dernier terme obtenu par X exposant de x dans ce terme et divisez par le rang de ce terme^ vous aurez le coefficient du terme suivant.

En effet, nous avons trouvé pour le n + i* terme du développement

le tçrme précédent est

88 UtRE II, CHAP. Il*

Oâ déduit le fi 4^ 1* têriiie du précédent m augmentant d'uûe Uûîté l'exposant de a et diminuant d'une unité celui de X. Quant au coefficient, on le forme en multipliant le coefficient précédent par l'exposant m — n + i de a? dans ce terme précédent, et divisant par n, rang de ce terme.

Exemples.

11 importe de s'exercer à développer rapidement la puissance d'un binôme. La règle que nous tenons d'indiquer facilite beaucoup le calcul.

-J-35aV+ 2iaV + 70*0?+ a'.

Pour passer du second terme au troisième, il faut multiplier par 6 et diviser par 2 ^ ce qui revient à multiplier par 5. Potir passer du troisième terme au quatrième, il faut mul^ tiplier par 6 et diviser par 5 ; on divisera d'abord s 1 par 3; ce qui donne 7, et l'on multipliera par 5, ce qui donne 35. Le développement contenant 7 + i ou 8 termes, et les termes également distants des extrêmes étant égaux, une fois trouvés les quatre premiers, on écrira les quatre autres immédiatement.

*» (x + af = a?* + Sax"^ + 28a V + 56a^x^

-f 7oa*ar* + 56« V + aSa V + 8a'â? + a\

Le développement contient 9 termes; il est nécessaire de calculer les cinq premiers; arrivé au terme 70a*»*, on remarque que les coeflScients se reproduisent.

30 (x 0)11 = ^11 1 lû^^io ^ 55^V ,65afe^8

+ 33oaV — 462(1 V + 462(t«;r» — 33oaV + i65aV

— 55rAx*+ iirt^^r->fl^*.