FORMULE DU BINOME

Le nombre des termes étant pair, le dernier terme a le signe — t et les termes qui ont même coefficient sont affectés de signes contraires.

— 792a*x'' + 924a'a?^ — 7920*^0?^ -f 495a®^* — aaoaV + 66a* V — 1 2a"ar + a*^

Le développement contenant un nombre impair de termes, le dernier a le signe + et les termes qui ont même coeffi* cient sont affectés du même signe.

58. Remarque IV, Les coefficients ^ont en augmentant du commencement jusqu'au milieu du développement et en diminuant du milieu à la fin. En effet, le rapport du coefficient du n + 1* terme à celui du terme précédent est, comme nous Tavons dit ,

C'est par ce rapport que l'on multiplie le coefficient du n* terme pour former celui du n + i* terme. Les coefficients vont en croissant tant que ce multiplicateur reste supérieur à Tunité ; ils vont au contraire en décroissant quand ce multiplicateur devient inférieur à l'unité. Posons donc

et résolvons cette inégalité par rapport à n, nous aurons

La fraction — 3L>. désigne la moitié du nombre des termes

du développement; ainsi les coefficients vont en croissant jusqu'au milieu. A partir du milieu, l'inégalité change de sens et les coefficients décroissent.

Il y a deux cas à distinguer : i° lorsque m est pair, le nombre des termes m + i est impair; il y a au milieu un coeflacient plus grand que tous les autres. Ainsi dans le développement àe(x + a)% dont nous n'écrivons ici que les coefficients

le coeflScient 70 est le plus grand; 2* lorsque m est impair, le nombre des termes est pair, il y a au milieu deux coefficients égaux plus grands que tous les autres. Ainsi dans le développement de {x + o)\ dont les coefficients sont

les deux coefficients 55 du milieu sont les plus grands.

Ce qui précède donne une propriété des combinaisons qu'il est bon de remarquer. On demande, par exemple, de quelle manière il faut combiner huit objets pour avoir le plus grand nombre de combinaisons. Il est clair qu'il faut les combiner 4 à 4 ; car les coefficients du développement de {x + a)% à partir du second, sont les nombres de combinaisons que Ton peut former avec 8 objets, en les prenant 1 à 1 , 2 à 2, 3 à 3, etc.. .; le plus grand coefficient étant le cinquième, il en résulte que le nombre des combinaisons des 8 objets A à 4 surpasse les autres nombres de combinaisons. De même, avec 7 objets, on obtient le plus grand nombre de combinaisons en les prenant 3 à 3 ou 4 ^ 4-

3g. Remarque V. Si dans le développement de {x -f a)"* on fait a; = 1 et a = 1 , chaque terme se réduit à son coeffi-

FORMULE DU BINOME. ftl

cient» et Ton a

Ainsi la somme des coeiGcients du développement est égale à 2"*.

Eu retranchant le premier coefficient qui ne désigne pas un nombre de combinaisons, on en conclut que le nombre total des combinaisons qu'on peut faire avec m objets, en les prenant de toutes les manières possibles, soit i à i, soit 3 à â, etc., est 2"* — i,

4o. Remarque VI. Si dans le développement de (a;— a)*" on fait a; = 1 et a = i , on a

o=.-.ci,+c;-G::.+ ±c

d'où l'on déduit

Ainsi» quand on forme toutes les combinaisons possibles avecmobjets, le nombredescombinaisonsqui renferment un nombre impair d'objets surpasse d'une unité le nombre des combinaisons qui renferment un nombre pair d'objets. Si donc on appelle u et v ces deux nombres de combinaisons,

On en déduit

Par exemple, avec lo objets on peut former en tout 2** — 1, c'est-à-dire 102 5 combinaisons. Parmi ces combinaisons 5 12 contiennent un nombre impair d'objets, 5ii un nombre pair, .

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