CHAPITRE IIL

fïOMBttÊS FIGURÉS, PILES DE BOULETS.

Pyramide à basé came.

H* Considérons une pyramide ayant pour base un ciuré de m boulets au côté ; sur la base est placé un autre ci^ré ayant m—i boulets au côté, et ainsi de suite jusqu'au sommet formé d'un seul boulet. Le nombre des boulets contenus dans chaque tranche étant un carré parfait , le nombre total des boulets contenus dans la pyramide est la somme des carrés des m premiers nombres entiers.

Voici une ihanière très-simple d'obtenir cette somme. Si dans l'égalité

on donne à m successivement les m valeurs i , 2 , 3. w,

on a

(m + 1)' nsm'^ + 3.m* + 3m -f- 1 ;

en faisant la somme et supprimant les nombres 2' , 3%. . . . . , m% qui se trouvent dans les deux membres ^ on obtient l'égalité.

+ 3(,|.2-(.5 4. ^wî) + m.

PILES DE BOUtETS. 48

8i, pour simplifier, on désigne par Sj la somme des m premiers nombres entiers, et par S, la somme de leurs carrés , cette égalité s'écrit

(m+l)« = l + 5(S,+ S,)^.m} d'où

3(S. + S,) = (m+i)»-(m + i)=(m + i)(m« + am) = wî(m+ i)(m4-a).

La somme des m premiers nombres entiers étant la somme des termes d'une progression arithmétique , on a

Si Ton remplace S^ par sa valeur, il vient

3Sj = m(m + i)(m + 2) — — ^ — ' — -£= > » ■ ■ ^^ ■ — ^;

d'où

Telle est la formule qui donne le nombre des boulets contenus dans la pyramide à base carrée. Par exemple , si m = 10 , on trouve S, = 385.

Pyramide triangulaire.

A2. Une pile de boulets triangulaire & pour base un triangle équilatéral ayant m boulets au côté ; sur la base est placé un autre triangle ayant m — i boulets au côté; sur celui-ci un triangle ayant m — s boulets au côté, et ainsi de suite jusqu'au sommet qui est formé d'un seul boulet.

Chaque triangle est formé de lignes de boulets disposées

ââ iivRE n, CHAP. m.

comme l'indique la figure; la première ligne contient i boulet, la seconde 2, la troisième 3 , etc. ; de sorte que le nombre des boulets contenus dans un triangle ayant m boulets de côté est la somme des m premiers nombres entiers, c'est-à-dire

' K Mais on a

Il en résulte que le nombre total des boulets, contenus dans la pile triangulaire qui a m boulets au côté de la base, est égal à la moitié de la somme des carrés des m premiers nombres, plus la moitié de la somme de ces m premiers nombres. On a donc en désignant par x le nombre cherché

Nous avons trouvé dans le numéro précédent

3(Sj + SJ==m(m+i)(m + 2).

On en déduit

Par exemple, si la pyramide a 8 boulets de côté à la base, elle renferme \ ou 120 boulets.

Pile à base rectangulaire.

Aâ. Imaginons une pile ayant pour base un rectangle de m boulets d'un côté sur n de l'autre , m étant plus