PILES DE BOULETS

grand que n; sur la base est placé un second rectangle de m — 1 boulets sur n — i ; sur celui-ci un troisième rectangle de m — 2 boulets sur n— 2 ; et ainsi de suite. On arrive enfin au n' rectangle qui a m — (n — 1) boulets à Tun de ses côtés sur n — (n — i) à l'autre, c'est-à-dire m — n + 1 sur 1 ; c'est une ligne ou arête de m— w+ 1 boulets qui forme le sommet de la pile.

Si Ton redescend du sommet à la base , on trouve d'à* bord la file supérieure de m — n + 1 boulets 5 au-dessous est un rectangle composé de 2 files renfermant chacune m — n + 2 boulets; au-dessous un troisième rectangle renfermant 3 (m — n + 3 ) boulets et ainsi de suite. En général le rectangle de rang /c, à partir du sommet, contient k(m — n+fc) boulets ; mais on a

Si dans cette égalité on donne à h successivement les n valeurs 1,2,3, ,n, afin d'obtenir les n rectangles dont

se compose la pile , on a

i(m — n+ i)=ri(m — w)-f- 1*, 2{m — n -|- 2) = 2(?/f — n) 4" 2*, 3(m — n + 5) = 3(m — n)-}-3%

En faisant la somme , on voit que le nombre total des boulets contenus dans la pile rectangulaire est égal à la somme (les carrés des n premiers nombres, plus la somme de ces nombres multipliée par m—n» On a donc , en appelant x h nombre cherché ,

ar=S2 + (m-n)Si OU , plus simplement,

UYBË II, GHAP. III.

«(n-f- i)(2W-f- 1) .{in — n)H{n'\' i)

w(n+ i)(Zm — n + i)

Par exemple , si U rectaugle de base a ^ 5 boulets d'uo

lO 11 oO

côté sur 10 de Tautre, la pile contiendra — '—^ — ou

66o boulets.

hd> méthode que nous avons employée revient à décom^ poser un rectaogle quelconque fc(m — n+i)envxi carré k* et up rectangle {m — n) k comme Tindique la figuret ^ il est à remarquer que ce second rectangle a pu côté çm^stant m — n, ce qui permet de faire la somme.

Triangle de Pascal.

44. On appelle triangle arithmétique, ou triangle de Pascal , le tableau suivant qui renferme les coefficients des puissances successives du binôme :

ia6

lao

aïo

aSa

lao « • •