NOMBRES FIGURÉS. A
La première ligne horizontale renferme les coefficients de la première puissance du binôme xr-f a, la deuxième les coefficients du développement de (x + a) ' , la troisième ceux de (a5+ a) • ; en général la m* ligne horizontale renferme les coefficients du développement de (» + «)* » c'està-dire en mettant à part le premier coefficient i , les nombres de combinaisons de m objets , pris i à i , 2 à s , etc.
En faisant abstraction de la colonne des unités , on voit que la première colonne verticale contient les nombres de combinaisons une à une de 1 , 2 , 3 ,.,..* objets, la seconde les nombres de combinaisons deux à deux de 2 , 3i 4«'*««« objets ; en géoéral la n* colonne (toujours abstraction faite de celle des unités que Ton ne compte pas) contient les nombres de combinaisons n à n de n , n + ^ » n + 2 « ••• • objets.
En un mot la m' ligne horizontale renferme les nombres de combinaisons de m objets , la n' colonne verticale les nombres de combinaisons n à «. Ainsi le nombre placé à l'intersection de la m* ligne horizontale et dia la n' colonne verticale est C^.
Chaque nombre Au triangle arithmétique égale le nombre placé au-dessus de lui ^ plus le nombre placé à gauche de ce dernier. Ainsi le nombre 35 de la 7* ligne égale le nombre 20 placé au-dessus de lui, plus le nombre i5 placé à gauche de ao. Ceci résulte de la relation
que nous avons démontré n^ ^2 ; G^^ est effectivement placé au-dessus de G^ dans la môme colonne verticale, et G^^ est placé à gauche de C^^^ dans la même ligne horizontale«
48 L1\R£ II, CHAP. m.
Cette propriété sert à la formation du tableau : supposons écrites les trois premières lignes, on dira 3 et i font 4> 3 et 3 font 6 , i et 3 font 4 ; écrivant à la suite l'unité, on aura la quatrième ligne. On dira de même 4 et i font 5 , 6 et 4font 10, 4 et 6 font lo , i et 4 font 5, et Ton écrira à la suite T unité, ce qui donne la cinquième ligne, et ainsi de suite. Chaque ligne horizontale se déduit de la ligne précédente.
45. Théorème. La somme des m premiers nombres d'une colonne verticale quelconque ept le m" nombre de la colonne suivante.
En d'autres termes, le m* nombre d'une colonne verticale quelconque est la somme des m premiers nombres de la colonne précédente ; ceci résulte de la loi de formation du tableau. Considérons, par exemple , le nombre 56, sixième nombre de la troisième colonne (on fait toujours abstraction de la colonne des unités) ; ce nombre égale 2 1 plus 35, mais 35 égale i5 plus 20, 20 égale 10 plus 10, 10 égale 6 plus 4 > 4 égale 5 plus 1 ^ on a donc
56= ai + 15 + 10 + 6 + 3 + ij
donc ce nombre 56 est la somme des six premiers nombres de la deuxième colonne.
A l'inspection du tableau on voit que le premier nombre de la n* colonne verticale se trouve dans la n" ligne 'horizontale; le second dans la n+i% le troisième dans la n + 2*. En général le m* nombre de la n' colonne verticale se trouve dans la m+n — 1 ligne horizontale ; c'est donc
ou
NOMBBES nOURÉS. 49
46. Les propriétés du triangle de Pascal permettent de trouver immédiatement le nombre des boulets contenus dans une pile triangulabe, nombre que nous avons déjà obtenu par un autre procédé. La première colonne verticale comprend les nombres entiers consécutifs , ou les nombres figurés du premier ordre. Un triangle de m boulets au côté étant formé de m files successives, le nombre des boulets contenus dans ce triangle est la somme des m premiers nombres de la première colonne verticale; c'est le m* nombre de la seconde colonne, soit , en faisant n=: s dans la formule (4) ,
m(tn -}- 1)
Ainsi les nombres i , 3 , 6, , de la deuxième colonne
verticale du triangle arithmétique sont les nombres trian-gulaires^ où les nombres figurés du second ordre. Ces
nombres sont représentés par la formule générale — .
Une pile triangulaire de m boulets au côté de base est formée de m triangles successifs; si Ton descend du sommet à la base, on voit que la pyramide est la somme des m premiers nombres triangulaires, c'est-à-dire des m premiers nombres de la deuxième colonne verticale du triangle arithmétique; c'est le m*' nombre de la troisième colonne, soit, en faisant n=:3 dans la formule (4)»
ni[m-\' i)(m4-a)
Ainsi les nombres i, 4» lo, 20, 35, , inscrits dans la
troisième colonne verticale sont les nombres pyramidaux,
50 LIVRE II, CHAP. ttl.
OU les nombres figurés du troisième ordre. Les nombres de la colonne suivante expriment des sommes de pyramides, et ainsi de suite.
Après avoir évalué de cette manière la pyramide triangulaire, on obiient aisément la pyramide à base carrée. On peut décomposer le carré de base en deux triangles équilatéraux ayant, le premier m boulets au côté, le second m — i; si l'on imagine chaque carré décomposé de la même manière, on voit que la pyramide carrée est la réunion de deux pyramides triafaguiaires ayant, la première m boulets au côté de base, la seconde m — i . Le nombre dès boulets contenus dans la pyramide carrée est donc la somme des nombres de boulets
contenus dans les deux pyramides triangulaires, soit, en simplifiant,
A7* Gomme dernière application du triangle arithmétique, cherchons la somme des cubes des m premiers nombres
Un cube quelconque m' peut s'ébrire
m' = m(fn} — 1 ) -f m = (m — 1 ) m{m -f- 1 ) + wi
NOMBKES I>:iGtmÊ$. 51
Le nombre ^ ^^ — ^ "^^^ est le m— i* nombre de la
tiroisiëme colontie verticale du triangle arithmétique. La somme des cubes des m premiers nombres égale donc six fois la somme des m — i premiers nombres de la troisième colonne, plus la somme dès m premiers nombres. La sommé des m — i premiers nombres de la troisième colonne est le m — i* nombre de la quatrième colonne, soit, en remplaçant m par m— i et n par 4 dans la formule (4)»
On a ainsi pour la somme des cubes des tn premiers nombres
Il en résulte que la somme des cubes des m premiers nombres égale le carré de la somme de ces m premiers nombres.
