CHAPITRE IV

PUISSANCE D'TO POITNÔME.

Permutations avec répétition.

48. Nous avons désigné par P^ le nombre des permutations que Ton peut former avec m lettres, quand toutes les lettres sont différentes. Supposons maintenant que, parmi

ces m lettres, il y en ait a égales à a, les autres, 6, c, d,...<. étant différentes ; voyons à quoi se réduit le nombre des permutations. Appelons x le nombre des permutations différentes que Ton peut former avec les m lettres proposées, parmi lesquelles a sont égales à a. Si, dans chacun de ces arrangements, on laisse les lettres 6, c, d à leurs places,

et qu'on permute entre elles les a lettres a, on n'apportera aucun changement apparent dans T arrangement; mais si Ton affecte les lettres a d'indices.

afin de les distinguer les unes>des autres, chacun des X arrangements précédents produira P^ arrangements distincts. Gomme on a maintenant m lettres différentes, on a formé de la sorte les P„» permutations de m lettres différentes. On a ainsi

Par exemple, avec les trois lettres a, a, 6, dont deux sont

p égales à a, on ne peut former que p^, c'est-à-dire 3 permu-

tations différentes :

aah, aba, baa.

Pour reprendre le raisonnement sur cet exemple, afin de le rendre plus sensible, affectons d'indices les deux lettres a et permutons les deux lettres a^ et a, ; le premier arrangement aab fournira deux arrangements distincts, a^aj)^ a^a^b; le second aba fournira de même a^b^a^y ^tMi» ^^

PERMUTATI0I9S A^EG BÉPÉUTION. 63

troisième donnera ba^a^^ ba^a^ ^ on aura formé ainsi les six permutations

' a^aj^y ^i^^t» ^^1^2)

des trois lettres différentes a^, a,, b.

à9. Supposons que, parmi les m lettres, il y en ait a égales à a et ^ égales à 6, les autres étant différentes, et appelons x le nombre des permutations que Ton peut former avec ces m lettres. Si l'on affecte d'indices les P lettres 6, afin de les distinguer les uns des autres, et que, dans chacun des arrangements précédents, on permute ces P lettres, chacun de ces x arrangements fournira P» arrangements distincts , et l'on aura en tout a: x Pq arrangements; ce sont les permutations de m lettres, parmi lesquelles a sont égales à a, les autres étant diffé-

rentes; le nombre de ces permutations étant égal à ^j

on a

d'où

On peut continuer le même raisonnement indéfiniment. Si, parmi les m lettres, a sont égales à a, ^ à 6, y à c, les autres étant différentes, le nombre des permutations que Ton peut former avec ces m lettres sera exprimé par la formule

Pa'Pp»Py

et ainsi de suite.

54 UYBB n, CHAP. lY.

Par exemple, si l'on a cinq lettres a, trois lettres è, deu lettres c, et une lettre d, avec ces onze lettres on peut former un nombre de permutations marqué par

Pli i.a.5.4.5.6.7.8.9.10.11 ^„„^^

Pg.Pg.Pj.Pj i.a.3.4.5Xi.a.3Xi.aXi

Puissance d'un pohfnômê»

60. Proposons-nous actuellement d'effécluer le développement de la puissance d'un polynôme,

(a+b+c+ +ftr,

c^est-à-dire d'effectuer le produit de m polynômes égaux entre eux ; on sait que le produit de plusieurs polynômes est la somme des produits que l'on obtient en prenant un terme dans chacun d'eux. ^ nous preBOiis la lettre a dans a facteurs, la lettre b dans ^ autres, la lettrée dans y autres, etc., nous aurons un terme de la forme

a^bhr ;

la somme des exposants, où le degré du terme est constamment égale à m. Il est évident que Ton obtient plusieurs fois ce même terme, autant de fois que Top peut former d'arrangements avec a lettrei^ égales à a, ^ lettres égales ài 6, Y égales à c, etc.; car à chacun de& arrangements correspond une manière particulière 4' obtenir le terme a*6^c^.... ; en réunissant ces termes égaux, on aura

^"^ a^l^cT

P,.Pp.P,

PUISSANQP O'UN PQLYWME. 66

Le â^elopp^ent peut donc ô^re représenté par lu for-* mule

Poi-PP'Py

la signQ il indiquant une Bomme de termes de la même forme.

Toutefois, si Tun des exposants a, p, y,.,... , devient égal à zéro, il faut convenir que le symbole P^, qui n'a aucun sens par lui-même , sera remplacé par l'unité. Supposons, par exemple, a = o ; on prend la lettre h dans p facteurs, la lettre c dans y facteurs ; le terme 6^ c^ ...... ,

dant lequel la somme P4- y + des exposants est égal

à m , est répété un nombre de fois marqué par le nombre des permutations que Ton peut former avec p lettres ft, 7

lettres c, Ce nombre est p p*" — ; la formule générale

conviendra, si Ton remplace P^ ou P^ par Tunité.

51. Considérons en particulier le carré (a+ fr-f c^-,.,)* d'un polynôme, ou le produit

de deux polynômes égaux. Si l'on prend la mêm^ lettre a dans les deux golynôroes, on a le terme a' : comme on ne peut obtenir ce terme que de cette manière , son coefficient est l'unité. Si l'an prend une lettre a dans l'un des polynômes, et une autre lettre b dans l'autre, on a le terme ab; il est évident que ce terme peut être obtenu de deux maniées, soit qu'on prenne la lettre a dans le premier polynôme 9 la lettre b dans le second , ou la lettre a dans le second , la lettre b dans le premier ; ces deux manières correspondent aux deux arrangements ah et ba; le coefficient

de ce tentae sera donc égal à 2 , et Ton aura 2à6. On conclut de là, que le carré d'un polynôme est égal à la somme des carrés de tous les termes ^ plus deux fois la somm^ des produits de ces termes deux à deux.

Si l'on applique! la formule générale au développement de la puissance d'un binôme, on a

(a+*r=2fe«"*^

Cette formule est la même que celle trouvée précdemment, puisque a+p=:m, et que (n* 30)

Pp m f»

52. Il est facile d'évaluer le nombre des termes contenus dans le développement de la puissance m* d'un polynôme. Et d'abord, quand le polynôme n'a que deux termes, le développement en contient m + 1. Supposons que le polynôme ait trois termes, on écrira, en groupant les deux derniers

+ (à + cr;

puis on développera les puissances successives du binôme b-\-c;le nombre total des termes est

c'est la somme de m+ 1 premiers nombres figurés du premier ordre , c'est-à-dire le m -f 1 "" nombre figuré du second

ordre, ou -^ — ! — ^— ■ — \

PUISSANCE d'un POLYNOME. 67

Si le polynôme a quatre termes , on écrira

puis on développera les puissances successives dn trinôme 6 + ^ + ^' 1® nombre total des termes sera la somme des in+ 1 premiers nombres figurés du second ordre, c'està-dire le m+i* nombre figuré du troisième ordre, ou

^ — ' — — — ^ ^ — ■ — '. En général, si le polynôme pro-

posé a n termes, le nombre des termes du développement sera égal au m+ 1* nombre figuré de Tordre n — i, c'està-dire à

Dans la pratique , au lieu d'appliquer la formule (i) , on préfère ordinairement procéder comme nous venons de le faire. "" '* j