PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DES SÉRIES
53. Oïl appelle série , en mathématique , une suite indéfinie de quantités qui se déduisent les unes diss autres, suivant une loi déterminée. Ces quantités sont les termes de la série. -^
Lorsque la somme des termes de la série tend vers une limite finie et déterminée, on dit que la série est convergente. Dans le cas contraire, on dit qu'elle est divergente.
Nous désignerons les termes si^cessifs d'une série par
et par S^ la somme des n premiers termes :
Si la somme des n premiers termes tend vers une limite finie S , lorsqu'on prend un nombre de termes de plus en
SâElIfi3. 59
plus grand , la série est convergente; sinon , elle est divergente.
Il importe de bien préciser la définition des séries convergentes. Quand on dit que la somme des termes de la série tend vers une limite finie et déterminée S, cela signifie que l'on peut prendre n assez grand pour que la somme S„ des n premiers termes « et chacune des sommes
suivantes S^^ , S^^., , , diffère de la limite S d'ime
quantité moindre qu'une quantité donnée, si petite qu'elle soit.
La progression géométrique, prolongée à l'infini, nous donne un premier exemple de série. Soit a le premier terme, r la raison ; la série s'écrit
a, ar, ar', ar''
La loi de formation da la série est très-simple ; on déduii chaque terme du précédent en le multipliant par un nombre constant r.
Si la raison r, en valeur absolue , est plus grande que l'unité, les termes de la série vont en augmentant indéfiniment ; il est clair que, dans ce cas , la somme des termes ne peut tendre vers une limite déterminée; la série est divergente.
S* la raison , en valeur absolue , est plus petite que l'unité,' les termes de la série diminuent indéfiniment, de manière à devenir plus petits que toute q\iantité donnée. Nous avons trouvé pour la somme des n premiers termes (I" partie , livre iv , chaiP. II) , •
Si Pon prend un nombre de termes de plus en plus grand,
60 LIVRE IU9 GHAP. I.
la quantité devenant plus petite que toute quantité
donnée, on voit que la somme des termes tend vers une limite finie et déterminée,
1 — r Ainsi, dans ce cas, la série est convergente ; cette limite
est ce que Ton appelle la somme des termes de la
série.
Quand la raison rest positive, ainsi que le premier terme a, tous les termes étant positifs, la somme des termes va constamment en augmentant,àmesure qu'on en prend un nombre plus grand, et elle se rapproche de plus en plus de la limite S. Quand la raison est négative, la somme est alternativement plus grande et plus petite que la limite S, dont elle se rap- ^proche en oscillant de part et d'autre.
54. Une première condition nécessaire pour qu'une série soit convergente, c'est que ses termes tendentvers zéro. Nous ferons voir, en efifet, que, dans toute série convergente, on peut prendre n assez grand pour que le terme u^ et chacun
des termes suivants w^^.^. m„+, soit^plus petit qu'une
quantité donnée^a, si petite qu'elle soit. Puisque la série est convergente, on peut prendre n assez grand pour que èîiacune des sommes t
Sn^ S^l> ^nri-fy
diffère de la limite S d'une quantité moindre que -. Les deux sommes S^ et S^^^ , différant de la limite S d'une quantité moindre que -, difiTèrent entre elles d'une quantité moindre
que a ; mais la dîflFérence de ces deux sommes est le terme u^ de la série ; on en conclut que ce terme m» est plus petit que a. De même, les deux sommes S^^ et S„^.,, différant de la limite S
d'une quantité moindre que -, leur diflFérence, c'est-à-dire
le terme u^^ de la série, est moindre que a, et ainsi de suite. Ainsi chacun des termes
est moindre que la quantité donnée a, ce qu'on exprime en disant que les termes de la série tendent vers zérol
C'est ce qui a lieu dans la progression géométique décroissante^ ses termes deviennent en effet plus petits que toute quantité donnée.
55. Mais cette condition n'est pas suffisante; les termes d'une série peuvent tendre vers zéro sans que la série soit convergente. Dn exemple très-simple mettra cette proposition en évidence. Considérons la série
formée de fractions ayant pour numérateurs l'unité, et pour dénominateurs les nombres entiers consécutifs ; le terme
général - tend vers zéro, et cependant la série est ^ver-
gente.
Prenons, en effet, le troisième et le quatrième terme
3+4' et remplaçons ^ par la quantité plus petite ^ , nous aurons
62 UVRE m, CHAi». t.
plus simplement
Prenons maintenant les quatre termes suivants
et remplaçons chacun des trois premiers par la quantité plus petite g, nous aurons
En prenant de même les huit termes suivants, et remplaçant chacun d'eux par -g, on aurait
et ainsi de suite indéfiniment. Nous formons ainsi une infinité de groupes dont chacun est plus grand que - ; donc la
somme des termes augmente au delà de toute limite, et par conséquent la série est divergente.
56. Quand nous disons que les termes d'une série con^ vergente tendent vers zéro, cela ne signifie pas qu'ils dimi^ nuent coi^nuellement» de manière que chacun d'eux soit plus petit que le précédent» Écrivons, par exemple, la progression décroissante
SÉRIES. 6â
dans l'oràrë SUitant
la série reste évidemment convergente ; les termes tendent Vers zéro, mais avec ,des alternatives de croissance et de décroissance.
Après ces considérations préliminaires, nous distinguerons detix sortes de séries, celles dont tous les termes sont positifs, et celles dont les termes sont, les uns positifs, les autres négatifs.
Séries dont tous les termè$ sofU positifSé,
57. Théorème I. Une série dont tous les termes sont positifs y et dont la somme des n premiers termes conserve une valeur finie^ quand n alimente indéfiniment, est convergente.
On dit qu'une grandeur variable conserve une valeur finie, lorsqu'elle reste constamment inférieure à une grandeur déterminée A que Ton peut assigner* Puisque les termes de la série proposée sont tous positifs, la somme des n premiers termes va en augmentant à mesure que n augmente. Si elle conserve une valeur finies la somme Qrois» santé t^d évidemment vers une certaine limite qu'elle ne peut dépasser; cette limite est la plus petite des quantités auxquelles'la somme variable reste constamment inférieure* Ponc la série est convergente*
684 Remâfque, Ce théorème, doit être borné aux séries dottt tous tes tetmêd sont positifs; lorsque Jes termes sont affectés de signes différents, de ce que la somme conserve une valeur finie, on ne peut plus conclure la convergence de la série. Soit^ par exemple, la série
si Ton prend un nombre de termes de plus en plus grand, la somme est alternativement i et o ; quoique restant finie, elle ne tend pas vers une limite déterminée et la série est divergente.
Ceci fait voir qu'une série peut être divergente de deux manières; soit que la somme des n premiers termes augmente à rinfîni, soit que la somme, conservant une valeur finie, ne tende pas vers une limite déterminée. Dans les séries dont tous les termes sont positifs, le premier mode de divergence se présente seul, puisque la série est convergente, toutes les fois que la somme reste finie ; mais, dans les séries dont les termes sont affectés de signes différents, les deux modes de divergence peuvent se présenter suivant les cas,
69. Théorème IL Lorsqu'une série a tous ses termes posù tifs et respeclivement moindres que les termes correspondants d'une série convergente^ dont tous les termes sont positifs^ cette première série est aussi convergente.
Il est clair en effet que la somme des n premiers termes de la première série est moindre que la somme des n premiers termes de la seconde série; mais cette seconde somme conserve une valeur finie, puisque la seconde série est convergente; la première somme conserve donc à plus forte raison une valeur fipie et, en vertu du théorème précédent, la première série est convergente,
fe théorème nous ii#que le moyen que Ton emploie pour reconnaître si une série est convergente ^ on compare la série proposée à une autre déjà connue et que Ton sait être convergente. La progression géométrique décroissante étant la seule série convergente que nous connaissions jusqu'à présent, c'est aux progressions géométriques que nous comparerons les séries.
60. Théorème III. Lorsqu'à partir d'un éèrtain rang le rapport d'un terme au précédent est constamment égal ou inférieur à un nombre déterminé plus petit que Vunité, la série est convergente.
Supposons qu'à partir du terme de rang n le rapport d'un terme au précédent reste constamment égal ou inférfe^r à un nombre déterminé fc plus petit que l'unité ; je dis que la série est convergente. Faisons abstraction des n premiers termes dont la somme a une valeur finie et bien déterminée, et considérons la série
formée par les termes suivants.
On a «
De la première inégalité on déduit
La seconde donne
et, si l'on remplace le terme «„+! par la quantité plus grande ku^ , on a à fortiori
On déduit de même de la troisième
ë6 LIVRE lil, CHAP. i.
et, en remplaçant ti^^, par là quaiitité plus gratide fc*Wn ,
et ainsi de sdite. Il résulte de là que les termes dé la série
sont respectivement moindres que les termes correspondants de la progression géométrique décroissante
(2) . u^^ka^-^khi^J^. . : . .
dont la raison k est ihférieùfè à l'unité. En vertu du théorème précédent, on en coiicltit que là sérié est convergente. • Soit , par exemple , la série
Le rapport du second térine au premier est - , du troisième au second ■= , du quatrième au troisième 7 , et ainsi
de suite ; ce rapport étant constainmeiit égal bu inférieur à
- , la série est convergente.
Quand on prend les n premiers termes de la série proposée et qu'on néglige les suivants, Terreur commise, ou la limite dé la sommé deè termes de là série {\ ) est moindre que la limite de la somme des termes de là progression (2j,
c'est-à-dire moindre que — ^.
61. Corollaire. On facilite beaucoup l'application dé ce théorème par les considérations suivantes. Ordinairement
le rapport -=^* d'un terme au précédent tend vers une limite déterminée, que nous désignerons par 1^ lorsque n augmente indéfiniment. II y a trois cas à distinguer, suivant que cette limite X du rapport est inférieure, supérieure, ou égale à Tunité,
1** X < 1. Choisissons un nombre arbitraire mais déterminé fc, compris entre i et X , c'est-à-dire plus petit que
u l'unité, mais plus graûd que h^e rapport -^^ , se rappro-
chant indéfiniment de sa limite 'k , restera, à partir d'un
certain rang, constammeitt iriTérieur au nombre fc; donc,
en vertu du théorème démontré, la série est coiivergente.
2° )^ > 1 . Choisirons un nombre arbitraire k entre i et X.
Af
Le rapport -^\ se rapprochant indéfiniment de s'a limite X, restera, k partir d'un certain rang, constamment supérieur à ft, et l'ôii aura
bri eii dédiiu
<^i>kK^ Wn4-2>^*Wn, W^-f3>*X^
Les termes de la àérie, étant plus grands que les ternies d'une progression géométrique croissante, augmentent à l'infini. Donc la série est divergente.
â* X==i. Quand le rapport d'un terme au précédent tend vers une limite égale à l'unité, il y a ambiguïté: la série est tantôt convergente, tantôt divergente. Le théorème précédent est insuffisant pour décider la convergence de la série; il faut alors recourir à des moyens particuliers.
as LIVRE III, CHAP. I.
Exemples. V Soit la série
doift le terme de rang n est
le rapport de ce terme au précédent est
ce rapport a pour limite zéro, quand n augmente indéfiniment ; donc la série est convergente , quelle que soit la valeur de 0?, • ^
Quand la valeur de i est plus grande que Tunité, les termes commencent par augmenter; mais, à partir d'un certain rang plus ou moins éloigné, ils vont en diiginuant. Par
exemple, si a? = lo + — ^ les termes augmentent jusqu'au
dixième terme; mais au delà, le rapport devenant plus petit que l'unité, les termes diminuent. A partir, du vingtième terme, les termes décroissent plus rapidement que les
termes d'une progression géométrique dont la raison est -.
S*» Considérons la série
SÉRUBS.
qui a pour terme général
Le rapport de ce terme au
précédent est
ou '
et a pour limite x^ quand n augmente indéfiniment. Ainâi, la série est convergente, quand la vàleur^de x est- plus petite que Tunité; divergente , quand elle est plus grande que l'unité.
Quand a? = i , on a la série divergente étudiée au n*» 55.
S'» Soit la série
Le rapport d*un terme au précédent
a pour limite l'unité, et la question de convergence reste indécise. Mais on peut démontrer aisément que la série est convergente , en groupant les termes d'une manière analogue à celle que nous avons employée dans l'exemple du n* 55. Prenons d'abord le second et le troisième termes, et remplaçons le troisième -=^ par une quantité plus
grande— j- , nous aurons
70 LIVRE III, GHàP. I.
Formons un second groupe avec les quatre termes suivants et remplaçons chacun d'eux par une quantité plus
grande -7^ , nous aurons de même
On formera le' troisième groupe avec les huit termes suivants, en remplaçant chacun par le premier d'entre eux , ce qui donne '-^
et ainsi de suite indéfininaent. Qn voit par là que la somme des termes de la 'série est plus petite que la somme des termes de la progression décroissante
Donc la série est convergente.
3° Soit la série
i + J- + -i.+ JL+
Les termes de cette série étant respectivement plus grands que ceux de la série divergente
'+rf-3+-4+ ' .
la somme augmente à l'infini, et la série est divergente.
62. Remarques. Le rapport d'un terme au précédent ne tend pas toujours vers une limite déterminée. Considérons,
Ç^RIBS. 7i
par ^xepiple, la série
2 î a.3 ' a«.5^ a?.3* ' a*. 3? ! a'.Sî' ' • . •
le rapport d'un terme au précédent est ici alternativement
— et ^ ; il ne tend pas vers une limite déterminée; mais;
cpfnme il nç surpasse pas la quantité — qui est plus petite
que Tunité, la série est convergente.
Il n'est pas nécessaire pour la convergence des séries qu'à partir d'un certain rang te Vapport d'un terme au précédent reste constamment inférieuif à un nombre fixe plus petit que l'unité. Prenons comme exemple la progression décroissante
dont nous permutons les termes deux à deux, ce qui donne la série
Le rapport d'un terme au précédent est ici alternativement 2 et -^ ; il ne reste pas , à partir d'un certain rang ,
inférieur à une ^antîté moindre que l'unité , et cependant la série est convergente.
63. Théorème IV. Lopqu' à partir 4'ffn certain rançi V expression \u^ a une valeur constamment égale ou inférieure à un nombre déterminé plus petit que Vunité^ la série eff çofifergenfg.
72 tlVRE III, GHAP. I.
Supposons qu'à partir d'un certain rang l'expression \Un reste constamment égale ou inférieure à un nombre déterminé k plus petit que l'unité ^ on aura
ei par suite
Les termes de la série sont respectivement moindres que les termes de la progression géométrique décroissante
et, par conséquent,^la série est convergente.
Corjollaire, On applique ce théorème comme le précédent. Ordinairement l'expression \Un tend vers une limite déterminée X, quand n augmente indéfiniment. Si la limite X est inférieure à l'unité, la série est convergente; si elle est supérieure à l'unité , la série est divergente ; si elle est égale à Tunité , il y a ambiguïté.
Il est aisé de reconnaître que lesjlimites des deux ex-
pressions — et Ju^ sont égales. Appelons en effet X et \
••il
ces deux limites et supposons \ plus petite que X,. Si l'on considère la série
les limites pour cette série seront Ix et \x ; en vertu des théorèmes précédents , la série sera) convergente
pour toutes les valeurs de x inférieures à s- ^^ divergente
pour toutes les valeurs de x supérieures à ^ ; elle serait en même temps convergente et divergente pour les valeurs
de X comprises entre ^ ^^ y ^ f^^^ ^^^^ ^^^ l^s deux quantités X et \ soient égales.
Séries dont les termes sont affectés de signes différenls.
64. Théorème V. Lorsqu'une série dont tous les termes sont positifs est convergente^ si Von affecte les termes de signes quelconques^ la série reste convergente.
Jusqu'à présent nous n'avons considéré que des séries dont tous les termes sont positifs. Quand les termes sont affectés de signes différents, on examine si la série que Ton obtient en prenant tous les termes positivement est convergente ; alors on peut affirmer que la série proposée est aussi convergente. Parmi les n premiers termes de la série proposée, les uns sont positifs, les autres négatifs ; appelons P» la somme des termes positifs, Q^ celle des termes négatifs > nous aurons
Mais, si Ton prend tous les term'es avec le signe +, la somme des n premiers termes devient égal^ àP,i + Qn; cette somme totale <;onservant une valeur finie, les sommes partielles P^ et Q» conserverai: aussi des valeurs finies et tendent vers des limites déterminées P et Q ; il est clair que leur différence S^ tend vers une limite égale à P — Q. Donc la série proposée est convergente.
Corollaire. Le théorème III peut être étendu aux séries dont les termes sont affectés de signes quelconques. Si, à partir d'un certain rang, la valeur absolue du rapport d*un terme au précédent reste constamment inférieure à un nombre déterminé moindre que l'unité, la série est convergente. Et, en effet, nous savons que, dans ce cas, la série
74 I-rVRE lïî, CIJAP. I.
formée de tous les termes pris positivement est convergente; donc la série proposée est ellç-mên^e convergente.
Séries à termes alternativement positifs et négatifs.
65. Théorème VI. Lorsque les termes d'une série décroissent indé!finiment ef sont alternativement po$itifs et négatifs^ Içi série est convergente.
Parmi les séries dont les termes sont alTectés de signçs différents, il faut remarquer en particulier celles dont les termes sont alteruativement positifs et négatifs. Soif;
une série de cette sorte; lorsque les termes tendent vers zéro et en outre diminuent continuellement, de manière que chacun soit plus petit que le précédent, on peut affirmer la convergence de la série.
Si Ton prend un, deux, trois, quatre, termes, on
obtient les sommes successives '^
^i = '^o — ^iy
S8 = Wo — «i + W,,
Considérons d'abord les sommes composées d'un nombre pair de termes; on peut les écrire sous la forme
S8 = K — Wi),
S* = (Wo — «*i) + K — «s)»
Se = («0 — Wi) + (Wj — Wj) + (w* - U^)y
en groupant les termes deux à deux par des parenthèses:
\m tenp!^ quelconque étant plus petit que le précédent, chacune des parenthèses a une valeur positive ; ces diverses sommes ont donc des valeurs positive? de plus en plus grandes.
Considérons maintenant les sommes composées d'un nombre impair de termes; elles ont aussi des valeurs positives; car on a
S, = S, + Wj, 85 = 8, + w,,
Si on les écrit sous la forme suivante
^3 = ^0— («1— Wj),
S5 = «o — K—Ws) — K— W4),
on voit qu'elles vont en diminuant de plus en plus. On a ainsi deux séries de sommes, qui vont, les premières en augmentant, les secondes en diminuant.
Chaque somme de la seconde série est plus grande que Tune quelconque de celles de la première série ; comparons par exemple les sommes S^, et S^, on a S^, = S,, + w^, ; la somme S^j est plus grande que S^, ; cette dernière étant plus grande que Sg, on en conclut que la somme S,, est plus grande que Sg. Comparons de même les sommes S^g et S^g; on a Sj7 = Sjg + tijg ; la somme S^^ est plus grande que S^^; l^omme S^, , étant plus grande que S^^, est elle-même plus grande que S^,.
Les sommes formées d'un nombre pair de termes, allant en augmentant et restant inférieures à l'une quelconque des sommes de la seconde série, tendent vers une limite déterminée. Les sommes formées d'un nombre impair de termes, allant en diminuant et restant supérieures à l'une
76 LIVRE m, GHAP. I.
quelconque des sommes de la première série, tendent aussi vers une limite. La différence entre deux sommes consécutives S„, S^+j, ou le terme m„ de la série, devenant aussi petit qu'on veut, on en conclut que les deux limites sont les mêmes ; donc la série est convergente.
Les sommes successives, formées d'un nombre de termes de plus en plus grand, sont alternalivement trop grandes et trop petites, et tendent vers la limite en oscillant en quelque sorte de part et d'autre.
La limite S étant toujours comprise entre deux sommes consécutives S» et S„^, la différence entre la somme S^ et la limite S est moindre que la différence entre les deux sommes consécutives S„ et S„^.i, c'est-à-dire moindre que le terme u^. Ainsi, quand on prend les n premiers termes de la série, Terreur commise est moindre que le terme suivant Un*9 la somme des termes négligés est une fraction de ce terme dz u» et a même signe que ce terme.
Exemples.
1* La série
dont les signes sont alternés, et dont les termes diminuent indéfiniment est convergente. Les semmes '
