Tous les théorème? que nous avons démontrés sur la

78 LIVRE in, CHAP. î.

Cbnvergetice des séries sont compris dans un tHëorèiiie géiiéiral qu'il est bon de connaître.

Théorème Vil. Pour quuné sérié soit convergente^ il est nécessaire et il suffit que Von puisse rendre n usiez grand pàûr que la somihe d'un nombre quelconque de termes^ même infini, à la suite des n premiers^ soit moindre qu*ûii<e quantité donnée.

Soit la série

Nous avons désigné par Sn la somme des n premiers termes,

prenons à la suite un nombre quelconque m dé termes et appelons s leur somme

en ajoutant cette somme s à la première somme Sn, nous obtiendrons la somme S„^„ des n + m premiers termes dé la série. Or, si la série est convergente, on peut prendre n as^ez grand pour que la somme S^ et la somme S^^ diflé-

rent de la limite S d'une quantité moindre que -, et par

conséquent diffèrent entre elles d'une quantité moindre 'que a; la somme s des m termes pris à la suite d^ n premiers •est doncmoindre^que cl, et cela esfevrai si grand que soitm. Ainsi, ^gms uqf série ^pnvergente, on p^at prendrem ^ssez grand pour qu'un nombre quelconque de termes^ »iême infini, pris à^la suite des n premiers, aient lîne SQ^4uiemoindrequ',une<juantitédonnée,sipetitfequ'ellesoit. La* réciproque est vraie : lorsque cette concMtion est rem- )[)lie, la série est convergente. Eh effet, prehbiis li tel tîue

la somme d'un nombre quelconque de termes à la suite des n premiers soit moindre que a en valeur absolue ; il est clair que toutes les sommes

qui se composent des n premiers termes, plus un, deux, trois, ..., termes à la suite, seront comprises entre S„ — a etSn + a. Prenons maintenant un nombre plus grand n', tel que la somme d'un nombre quelconque de termes à la suite des rJ premiers soit moindre que la quantité a' plils petite que a; les sommes

seront de même comprises entre S^, — a' et S„, + a'. En général, la quantité S„'— a' sera plus grande que S„ — a, là quantité S„, + a! plus petite que S» + a, et Ton aura aitisi tesseiré l'intervalle qui comprend toutes les sommes suivantes. On pourra ehcorë le resserrer davantage et autant qu'on voudra, ce qui montre bien claiteilnent l'existeilce de limite vers laquelle tend la somme des termes de la sérié. Il pourrait arriver cependant que la quantité S„; + ^ fût plus gtandë que Sn + â; mais, comme on sait que les somme]^. S„r+i, Sn/^.2, ..... sont plus petites qile S^ + a, on conserveiràit cette dernière quantité et l'on dirait que les âommôi $ont comprises entre S„, — a' et Sn + à. Il pourrait ' arriv^We même que la quantité S^/ — a' fût plus petite qtle *S„ — a : dans ce cas, on dirait que les sommes sont comprises entre Sn — a et S^» + a'/Bans|ous les casfon aura fcff- «né, dans le premier intervalle ^a, un second lotervalle 2a' plus petit (jiie le premier et comprenant toutes ks sommes suivantes. Dans lé secoad, on en fortnera^ un troisième encore plus petit, et ainsi de suite, ce qui conduit nécessairement à une limite.

80 LIVRE 111, GHAP. II.