Considérons la série

Les deux premiers termes donnent une somme égale à 2. Les termes suivants sont respectivement moindres que les termes de la progression géométrique

que Ton obtient en remplaçant chacun des facteurs, 3, 4» 5....... par un facteur plus petit 2, ce qui augmente les

fractions; ainsi, d'après le théorème II, la série est convergente, et la somme des n premier^ termes, abstraction faite des deux premiers, tend vers une limite toçindre que la limite de l»somme des termes de la progression, c'est-à-dir(f moindre que l'unité. La somme totale tend vers une limite comprise entre 2 et 3.

Cette limite est un nombre incommensurable. Supposons, en effet, qu'elle soit égale à une fractiou ordinaire

—, on aurait

Si nous écrivons d'abord les n + i premiers termes, et si nous mettons les suivants sous la forme