n l.iH^ "^ (n+ 1) (n + 2) "^ J

nous aurons

Multiplions ensuite tous les termes de l'égalité par le produit 1 • 2 • 3 • . • . . n, le premier membre devient un nombre entier i • s • 3 . . • . . (n — i ) m; les n + i premiers termes du second membre deviennent aussi des nombres entiers, dont, pour abréger, nous désignerons la somme par N; on obtient de la sorte Tégalité

La quantité entre parenthèse est une fraction moindre ^e l'unité ; car ses termes sont respectivement moindres que ceux de la progression

que Ton obtient en remplaçant chacun des facteurs n + s, n+ 3, . . . par le facteur plus petit n+ 1 , ce qui augmente chacune des fractions; la somme des termes de cette progression

étant égale à ~, la quantité entre parenthèse est moindre

que - ; c'est donc une fraction proprement dite. On aurait

donc, dans l'égalité précédente, un nombre entier égal à un nombre fractionnaire, ce qui est impossible. Ainsi, la limite vers laquelle tend la somme des termes de la série proposée est un nombre incommensurable compris entre 2 et 3;ce nombre joue un grand rôle en mathématiques ; on le désigne par la lettre e.

ââ LIVRE 111) GNAP, 11.

68. Appelons R le reste de la série, ou Terreur cotnniise quand on prend les n + i preqaiers tçrmes,

la parenthèse étant moindre que -, d'après oe qui vient d'être dit, on a

Ainsi» quand on prend n+i ternes* Verrour eemmiie est moindre que la n'' partie du dernier terme oaleulé. Voici le calcul dç e avec sept chiffres décimaux.

-- — r-^ S??. q,oo8iS 3353 i.a 5

- ■ !" ■ ' ■ ??P O5OÛOI ^4i

-..m- g =; o^ooQo a4$e

" Œ o«oooo oayÔ 1.2 9

:tss 0^0000 QpaR

=: Q.QOOO ooo3

Les termes se déduisent les uns des autres par divisions successives. Nous avons pris les douze premiers termes; les trois premiers sont exacts, et nous avons calculé les autres avec huit décimales, par défaut ou par excès, de manière que Terreur commise sur chacun d'eux soit moindre qu'une demi*unité du huitième ordre décimal ; six ont été calculées par excès, trois par défaut. D'ailleurs la somme des termes négligés est moindre que la 1 1* partie du dernier terme calculé, et par conséquent moindre aussi qu'une demi -unité du huitième ordre décimal. Pour corriger la somme obtenue, il faudrait donc la diminuer d'une quantité plus petite que 3 unités du huitième ordre décimal, et l'augmenter d'une quantité plus petite que deux unités du même ordre, ce qui donne

On a ainsi, par défaut, avec sept décimales exactes^

Limite de (\ -{ — j , quand m augmente indéfiniment.

69. Nous démontrero.ns d'abord deux lemmes qui nous serviront dans la question proposée.

Lemme I. La limite de la somme d'un nombre fini de grandeurs variables est égale à la somme de leurs limites. Soient A, B, C, L, m grandeurs variables qui tendent simultanément vers les limites a, 6, c, /. Si l'on appelle

a, p, y, .....X les différences des grandeurs proposées à

leurs limites, on a

Sa LIVRE III, CHAP. II.

En additionnant ces égalités et désignant par S la somme des grandeurs variables et par 8 celle des limites, il vient

Appelons p la plus grande des différences a, ^, . . . . ,X en valeur absolue ; leur somme sera moindre que mp. Or le nombre m restant fini, et la quantité p devenant plus petite que toute quantité donnée, puisque toutes les différences tendent vers zéro, le produit mp deviendra aussi plus petit que toute quantité donnée; donc la somme S tend vers la limite 5.

70. Lemme II. La limite du produit d*un nombre fini de facteurs variables eut égal au produit' de leurs limites.

En conservant les mêmes notations que précédemment, nous avons les différences

Multiplions les deux membres de la première égalité par

BC L, ceux de la seconde par aC L, la troisième

par a6D....L, , enfin de la dernière par bc Jk, ce

qui donne

ABC L— aBC L = aBC L,

aBC L — a* C L = PûC.....L,

s£ri£S. 85

abC L — abcD L = yû*D L,

cJh: kh — abc A:/ = Xûé A.

1^ l'ou ajoute toutes ces égalités, on voit que les quantités intermédiaires se détruisent; il vient

ABC L—abc / = aBG h+'^aC......L + .

Chacun des produits BG L, aC L, , conservant

une valeur finie, on voit que le second membre est la somme de m quantités qui tendent vers zéro; donc leur somme tend

vers zéro» et le produit ABC L a pour limite abc {.

Mais il est nécessaire, pour que ces propriétés subsistent, que le nombre des parties de la somme, ou le nombre des facteurs du produit, soit fini. Soit, par exemple, la somme des m quantités

mm • • • • ^9

chacune d'elles tend vers zéro quand m augmente indéfiniment; mais le nombre des parties devenant infiniment grand, on ne peut plus dire que la limite de la somme soit la somme des limites, ce qui donnerait ici zéro ; et en eflet cette somme est égaie à a.

De même l'expression u H — j désigne le produit de

m facteurs égaux à i H ; chacun de ces facteurs devient

égal à l'unité quand m augmente indéfiniment ; la limite du

produit n'est pas égale au produit des limites, c'est-à-dire à l'unité, parce que le nombre des facteurs devient infini. C'est cette limite que nous nous proposons de déterminer.

86 LIVRE III, eHAP. II.

71. Si Ton. développe (^ + "• ) par la formule du binôme, il vient

/ 1 \ ** i ^ * i M^ — *) * 1 ^yy^— ^)^— ^a) 1

\'^m) ^l'^Tm- Ta n?'^'^ i.2.5 w?"*

^ans chaque terme l'eJcposaQt m est égal au nombre des facteurs du numérateur ; on divisera donc par cette puissance de m, en divisant par m chaque facteur du numérateur; on ainsi

\ nj 1 i.a ' 1.2.S

\ m/ \ fn) \^ m /

Nous remarquons d'abord que, quand m augmente, les

facteurs i , i , , qui composent les numéra-

m fn

teurs des différents termes du développement^ vont en

croissant; chaque terme augmente, ainsi que le nombre

des termes; on en conclut que la valeur de Texpresâon

(i 4--^\ augmente ^ mesure que m augmente. D'un

autre côté» si Von compare ce développement à la série connue (n® 67) ,

on voit que les termes du développement sont moindres

qa» las termes correspondants de la série» puisque les dénominateurs sont les mêmes de part et d'autre, et que les numérateurs des premiers sont inférieurs à l'unité ; la va*

leur de f I H — j est donc plus petite que là limite de là

somme des termes de la série, c'est-à-dire plus petite que le nombre e. Ainsi, quand m augmente indéfiniment, la valeur de f i + ^j va sans cesse en croissant, tout en restant inférieure à e ; elle tend donc vers une limite finie et déterminée qui ne peut Stlrpasser lé nôrtbre é. Nous alloiis démontrer que cette limite est le nombre e lui-même.

Dans les deux expressions (1) et (2) prenons les n + i premiers termes et considérons les deux sommes

• + 7+-Tr + 7:^5 — +

E = '+7 + ri + rT-? + +

Nous pouvons rendre n assez grand pour que la somme 8 diffère de sa limité é d*iine quantité ïnoîndre qu'une quantité dOÈnée — . Ayant choisi le nombte n de cette manière,

laissons-le fixe, et donnons à m deâ valeurs plus grandes que n et de plus èh plus grandes. Là somme A augmente; comme elle contient un nombre fini de t^mes, savoir » + 1 , la limite de cette somme, en vertu du lemme I, est égale à la âonme des limites de ses différents termes^ Le nuniéra-

88 UYKE ni, CHAP. II,

teur du troisième terme a évidemment pour limite Tu&ité; de même celui du quatrième. Eu général, le numérateur d'un terme quelconque étant le produit d'un nombre fini de facteurs dont chacun se réduit à l'unité, a pour limite, en vertu du lemme II , le produit des limites de ces différents facteurs, c'est-à-dire l'unité. Ainsi , quand m augmente indéfiniment, la somme A tend vers une limite égale à la somme £. On conçoit donc que l'on puisse prendre m assez grand pour que la somme A difière de sa limite E

d'une quantité moindre que — . On a alors e — E<-, E— A<-,

et par suite, en ajoutant,

La quantité li-\ — j étant plus petite que e, mais plus grande que A, on a, à plus forte raison ,

Puisque l'on peut rendre m assez grand pour que la valeur

de ( 1 + —) diifère du nombre e d'une quantité moindre

qu'une quantité donnée a, si petite qu'elle soit, il est clair que ce nombre e est la limite vers laquelle tend la valeur

de ( 1 H — j quand m augmente indéfiniment.