L'expression (i + a)" tend vers la même limite
quand a tend vers zéro. Ceci est évident, si la quantité
très-petite a est une fraction de la forme— , m étant un .
nombre entier très-grand ; car, ûb^s ce cas , l'expression
(i + a)« devient (i+j^)".
En général la quantité très-petite a sera comprise entre
deux fractions de la forme — et — ; — , et l'on aura
L'exposant - très-grand sera alors compris entre les deux
nombres entiers consécutifs m et m+ 1 , de manière que Ton ait
Si dans l'expression proposée {i + o-^ on remplace la
quantité i + a par la quantité plus grande i + — et l'exposant— par l'exposant plus grand m+i, on augmente la valeur de l'expression, et l'on a
Au contraire, si l'on remplace la quantité i +a par la quantité plus petite i -| — -r— et l'exposant — par l'exposant plus petit m, on diminue la valeur de l'expression, et
90 LIVRE Uli CMAP. II.
On ôMient altisi les inégalités ou, par des transformations convenables,
Lorsque k quantité « tend vero zéro^ le nombre mtier i* augmeaie iadéfiniment i chacune des quantités M 4* JL \ ^
tend vers la limite e; d'ailleurs le divi-
seur 1 -| ; — . de même que le multiplicateur i-\ — ,
devient égal à l^ùnlté. Leà deux quantités extrêmes tènâeiit
ainsi vers la même limite e; donc la quantité ( 1 + *)* » q^î est comprise entre elles, tend aussi nécessairement vers cette même limite.
Nous avons supposé dans C0 qtii précède la quantité a po^ sitive, supposons-la maintenant négative; en mettant le
JL
signe en évidence, ona iconëidêrei*rexpyession (1 — a) * . La quantité 1 — a moindre que Funité peut se mettre sous
la forme — ; — -, , a' étant une quantité positive. De l'égalité
on déduit
et, en substituant,
(i-ar«===(-^y==(i+çt')*+5^==(.+a)5^X'(i+a').
Quand a' tend vers zéro, la quantité (i + a')*' tend vers e, tandis que le multiplicateur i + a' tend vers Tunité ; donc
la quantité (i — a) <* a pour limite e. '
Ainsi, quel que soit le signe de a, l'expression (i + ^) * tend vers une limite égide à e, cpiand o; tend vers zéro.
