ÉTUDE DE LU FONCTION EXPONENTIELLE

73. Lemme I. Les puissances successives d*un nombre plus grand que T unité vont en croissant et deviennent plus grandes que toute quantité donnée.

Soit a une quantité positive supérieure à T unité. On voit d'abord que ses puissances successives vont en croissant ; car on obtient a"*^* en multipliant a"* par a; le multiplicateur a étant plus grand que l'unité, le produit a*^^ est plus grand que le multiplicande a"". Je dis maintenant que les puissances de a augmentent au delà de toute limite. Posons a = I + a; en développant (i + ^)"* suivant la loi du binôme, nous aurons

a*'= 1 -4-tt)~ = i4- — a-^ ^ '^ +

Tous les termes du développement sont positifs ; si donc

PONCTION EXPONENTIELLE. 93

on néglige le troisième terme et les termes suivants, on diminue le second membre, et Ton a

€r> i-\- ma.

Pour rendre la quantité a^ plus grande qu'une quantité donnée A, il suflSt évidemment de rendre la quantité i + ma plus grande que cette quantité ; on déterminera donc l'exposant m de manière à satisfaire à l'inégalité

Ainsi, lorsque l'exposant m surpasse , il est certain

que la puissance a*" devient supérieure à la quantité A, si grande qu'elle soit. Donc les puissances successives du nombre a plus grand que l'unité augmentent à l'infini.

Soit, par exemple, a = i , i ; on peut affirmer que a** surpassera 1 000 si m est plus grand que 529 ou que 9990. Mais

on n'a pas ainsi les plus petites puissances de a supérieures à 1000.

7 à. Lemme il Les puissances successives d'un nombre plus petit que Tunité vont en décroissant et devietment plus petites que toute quantité donnée >

Le nombre a, étant inférieur à l'unité, peut être représenté par — ; — , et l'on a

M U?B8 !▼( 0H4ir« l«

Qoand réimposant m croit indéfiniment, le âQûominftieur augmentant indéfiniment^ II. fraotioa dUninue et tend vers zéro.

75. Lemme III. La racine d*un nombre supérieur à V unité êêt êupMeure à funké^ tt Vonpeuî prmdrt t indicé du radicai asêez grand pour que la raoine diffère de ï unité d^une quan*' tiîi moindre que to^M quantité do$mie,

Soit a un nombm supérieur à runité. Je dis d'abord

que ya surpasse l'unité} car un nombre plus petit que l'unité, élevé à la n* puissance, ne pourrait reproduire le

nombre a plus grand que l'unité. Nous voulons rendre ya inférieure à i + a, a étant une quantité donnée très-petite; il s'agit donc de satisfaire à l'inégalité

OU k la suivante

Or, en vertu du lemme 1, si petite que soit a, on peut toujours pfemdre l'exposant ti aaete grand pour que (i + (tf surpasse a.

On veut, par exemple, que y ^ diffère de l'unité de moins

dei 0,001 . On prendra n plus grand que ~ , c'est-à-diro

plus grand que loob.

GoROLLAiKE. Toute puissance fractionnaire à^un nombre pïùè grand que Tuniié est plus grande que Vunitê. Car

o^ signifie y a*"; le nombre a étaçt supérieur à l'unité » sa puissance a*" est supérieure à l'unité, et la racine de cette dernière quantité est aussi supérieure à l'unité.

FONCTION EXPONENTIBLLE. 95

76. Lemme IV. Les racines d'un nombre inférieur à Vuntti sùfit inférieures à Vunité^ et Von peut prendre Vindice du radical assez grand pour que la racine diffère de Vunité âimè quantiU imindre que toute quantité donnée.

Sî le nombre a est inférieur à l'unité, \a sera aussi inférieure à Tunité ; car un nombre supérieur à l'unité, élevé à la n" puissance, ne pourrait reproduire le nombre a inférieur à l'unité; d'autre part, le nombre a, inférieur à l'unité,

peut s'écrire sous la forme -7 , a' étant supérieur à l'unité,

et l'on a

Le dénominateur tendant vers J'imite, quand l'indice n du radical augmœte indéfinimrat^ la fractioB tend •Ife^mtaid vers, l'unité.

Corollaire. Toute puissance fractionnaire d'un nonére plus petit qute Vunité est plus petite qm Vu/nité*

77, Théorème. La fonction ^"^ varie d'um manière cmtir nuej quand x croît d'une manière continue.

On appelle fonction en mathématiques une expression qui contient une lettre désignant une quantité variable, ^expression 2 a;' — A^r + 5 est une fbnctîon entière de la variable Xi L'expression a"" est une fonction exponentiénB de x; on la nomme ainsi parce que la vaHable a? est en exposant.

Nous supposons le nombre a positif et plus grand que l'ùnitô. Je dis d'abord que lorsque la variable x croit, la fonction a* croit. En effet, si l'on donne à la variable x un accroissement fc, la fonction devient a***, et éprouve une

96 LIVRE nr, chap. i.

variation marquée par

Mais a^ est supérieure à l'unité, parce que toute puissance d'un nombre a supérieur à l'unité est elle-même supérieure à l'unité ; donc la différence a*^'* — a' est positive, et par suite a"^^ est plus grande que a*. Ainsi, quand a est plus grand que l'unité, la fonction a' croît en même temps que la variable x.

Je dis maintenant que l'on peut donner à la variable x

un accroissement lé assez petit pour que la fonction a*

éprouve un accroissement plus petit qu'une quantité don-

. née a. En effet, supposons h plus petit qu'une fraction

de la forme -, n étant un entier très-grand ; en vertu du n

lemme III, on peut prendre n assez grand pour que w ou

«y — ot .

Va diffère de l'unité d'une quantité plus petite que — * la

quantité a\ étant moindre que a*", puisque h est inférieure à -, différera de l'unité d'une quantité encore plus petite,

et la différence a'^'* — a* sera moindre que a' x — ou que a.

Ainsi l'accroissement de la fonction peut être rendu plus petit qu'une quantité donnée, si petite qu'elle soit; en d'autres termes, lorsque T accroissement de la variable tend vers zéro, celui de Iq^fonction tend aussi vers zéro.

On dit qu'une grandeur varie d'une manière continue lorsqu'elle ne peut aller d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires. Une fonction est continue lorsqu'à une variation infiniment petite de la

FONCTION EXPONENTIELLE. 97

variable correspond une variation infiniment petite de la fonction ; car si la fonction sautait brusquement d'une valeur à une autre 9 elle éprouverait une variation finie pour une variation infiniment petite de la variable.

II résulte de ce qui précède que, lorsque la variable x croit d'une manière continue, la fonction exponentielle a* croit aussi d'une manière continue.

Nous avons supposé le nombre positif a plus grand que l'unité. Supposons-le maintenant plus petit, et posons

a = -,f<^^ étant supérieur à l'unité. On a

Lorsque x croît d'une manière continue, a'' croît, et par conséquent a* décroit d'une manière continue.

78. Corollaire. Voyons maintenant les valeurs par les^ quelles passe la fonction exponentielle a' quand on fait croître x d'une manière continue de — oo à + ^« Supposons d'abord a supérieur à l'unité, et faisons croître x de o à + oo ; pour a: = o, on a a® = i ; quand x est infiniment grand, en vertu du lemme I, a' est aussi infiniment grand; ainsi, quand x croît de o à + oo, la fonction a' croit de 1 à + ^* Faisons maintenant décroître o; de o à — co, et pour cela posons x = — a/9x' étant positive; on a

quand xf croît de o à + c», o*' croît de i à + ~» et par conséquent o' décroît de i à o. En résumé, lorsque la valeur o; croit d'une manière continue de — co à + ^9 a étant supé-

98 LIVRE ÏY, CaïAP, I.

rieur à Tunité, la fonction a"" croit d'une manière continue de à -{- Qo. Il est à remarquer que la fonction pa^se par toutes lesvaleurs positives et qu'elle ne passe qu'une fois par chacune d'elles puisqu'elle va constiunment en augmentant* Considérons maintenant le cas où le nombre a çat inférieur à l'unité, et posons a q -,, a* étant supérieur à Tunité, ce qui donne

On voit que lorsque x croît de o à + oo, a'* croissant de 1 à + c», a* décroit de i à o, et que, lorsque x décroît de o à — oo, a'* décroissant de i à o, a* croit de i à + oo. Ainsi, quand x croît d' une manière contique de — c» à + <>:>, a étant inférieur à l'unité, la fonction a* décroit d'une mar nière continue de -f oo à o, La fonction passe encore par toutes les valeurs positives et une seule fois par chacune d'elles.

79. Remarque. Nous pouvons maintenant donner d'une manière très-nette la signification de T exposant incommen* surable dont nous avons déjà dit quelques mots (q"" so).

Soit a^S et, pour préciser, supposons a supérieur h l'unité ; le nombre incommensurable y/s est la limite com<*

mune de deux nombres fractionnaires —et "^ , qui

diffèrent entre eux d'une quantité aussi petite qu'on veut,

et dont les carrés comprennent 2; en remplaçant y 2 par ces nombres approchés, on obtiendra deux séries de puis-»

sances fractionnaires a" et a *" » les premiër^isi plus petite»

que les secondes, et telles que leur différence peut être rendue plus petite qu'une quantité donnée; il existe donc entre ces deux séries de grandeurs une grandeur déter nniinée qui en est la limite commune; c'est cette limite que

désigne ci!^.