CHAPITRE IL
Définition par la fonction exponentielle.
80. On appelle logarithme d'un nombre Texposant de Ia puissance à laquelle il faut élever un nombre positif con^ stant a pour reproduire le nombre proposé.
Nous avons vu que, lorsque a? croît d'une manière continue de -—T go à + *=^f la fonction a* passe par toutes les valeurs positives et ne pa^se qu'une fois par chacune d'elles ; il en résulte que tous Us nombres positifs opt de^ log$h rithmes, et que chacun d'eux n'a qu'un logarithme. Si le nombre constant a est supérieur à l'unité, les nombres plus grands que l'unité ont des logarithmes positifs, les nombres plus petits que l'unité des logarithmes négatifs. Si a était inférieur à l'unité, les nombres plus grands que l'unité auraient au contraire des logarithmes négatifs, les nombres plus petits que l'unité des logarithmes positifs. Les nombrtâ négatifs n'ont pas de logarithmes réels.
Nous désignerons le logarithme d'un nombre par la notstioà hg.
Propriétés des logarithmes.
Les logarithmes jouissent de propriétés très-remarquables que nous allons démontrer.
81. Théorème I. Le logarithme du produit de plusieurs facteurs égale la somme des logarithmes de ces facteurs*
Soient deux nombres y et j/\ dont nous appellerons x etx' les logarithmes ; d'après la définition même des logarithmes, on a
Multiplions ces deux égalités membre à membre, il vient
L'exposant x + x^ est le logarithme du produit yy'; on a donc
^og(yt/) = logy + logy'.
La même démonstration s'applique à un nombre quelconque de facteurs. Soient trois nombres y, y\ y", ayant pour logarithmes x^ xf, x" ; on a de même
et, en multipliant
donc , 82. Théorème IL Le logarithme d'un quotient égale le
le logarithme du dwidende moins le logarithme du diviseur. En divisant membre à membre les deux égalités
on a
L'exposant x — a! est le logarithme du quotient ^. Donc log^=logy — logy'.
83. Théorème IIL Le logarithme de la puissance d'un nombre égale le logarithme de ce nombre multiplié par Vindice de la puissance.
Si Ton élève à la m' puissance (m étant un nombre quelconque, entier ou fractionnaire, positif ou négatif) , les deux membres de l'égalité
f = yy il vient
Donc
log(îr) = wlogy.
84. Théorème IV. Le logarithme delà racine Sun nombre égale le logarithme de ce nombre^ divisé par V indice de la racine.
Ce théorème n'est qu'un cas particulier du théorème pré-
cèdent; cary y s'écrit y*, et l'on a
102 LIVIW IT^ OHAF* II.
L'emploi des logarithmes simpUiie beaucoup les calculs numériques $ car la multiplication est remplacée par une addition, la division par une soustraction, l'élévation à une puissance par une multiplication, l'extraction d'une racine par une division.
Définition des logarithmes par des progressions'
• 86. Si l'on prend les logarithmes des termes d'une progression géométrique
aiariar^tar^: ,
dont la ra^on est r, on forme évidemment une progression arithmétique
; a . log a + log r . log a + 2 log r . log a + 3 log r •
ayant pour raison log r.
En arithmétique, on a coutume de définir les logarithmes par deux progressions, l'une géométrique commençant par l'unité, l'autre arithmétique commençant par zéro,
o • 6 • ai • 3& •
et l'on appelle logarithme d'un terme quelcooque de la progression géométrique le terme correspondant de la progression arithmétique. Afin d'avoir les logarithmes de tous les nombres avec une grande approximation, on insère un grand nombre de moyens entre deux termes consécutifs de la progression géométrique, et le même nombre de moyens entre deux termes consécutifs de la progression arithmétique. Il est aisé de voir que cette définition des logarithmes
par les progressions revient à la définition que nous avons donnée par les exponentielles.
Considérons les deux progressions
Si l'on insère n-— i moyens entre deux termes consécutifs des deux pi^ogressiôns, la raison de la progression géométrique devient y a ou a**, celle de la progression arithmétique - , en sorte que les deux progressions ainsi développées s'écrivent
Sous cette fornie, on voit qu'un tiombre quelconque a" de
la progression géométrique a pour logarithme l'exposant
de la puissance à laquelle il faut élever le nombre constant a pour avoir le nombre proposé. La base a d'un système de logarithmes est le nombre qui a pour logarithme Funité.
Changement de la base,
86. La base d'un système de logarithmes est un nombre positif constant, que Ton peut choisir à volonté. Supposons que Ton ait calculé les logarithmes des nombres dans le systètne dont la base est a, et que l'on veuille les calculer dans un autre système ayant pour base a\ Appelons x le
logarithme d'un nombre quelconque y dans le premi^ système, x' le logarithme du même nombre dans le second système, on aura
(f' — y, a'" = y; d'où
Prenons les logarithmes des deux membres de cette égalité dans le premier système, en remarquant que le logarithme de a est l'unité, il vient
a? = a?' logo',
loga'
Ainsi les logarithmes des mêmes nombres dans les deux systèmes sont proportionnels, et l'on a la règle suivante : pour passer Sun système de logarithmes à un autre, il suffit de multiplier les logarithm£s du premier système par Tinverse du logarithme de la nouvelle base pris dans le premier système.
Logarithmes népériens.
87. Les logarithmes ont été inventés au commencement du XVII* siècle par l'Écossais Néper, qui prit pour base le nombre incommensurable « = 2,7182818 ; les logarithmes de ce système ont été appelés logarithmes hyperboliques, ou, du nom de l'inventeur, logarithmes népériens. Ce sont ceux-là qui se présentent naturellement dans l'analyse mathématique; on les désigne ordinairement par la lettre L
LOGAHITHMSa. 1A5
Mais les logarithmes népériens ne sont pas c&mmodes pour les calculs numériques, parce qu'ils ne sont pas en harmonie avec notre numération décimale. C'est pourquoi BriggSf contemporain de Néper, proposa de remplacer la base e par la base dix de notre système de numération. Ce sont les logarithmes de Briggs dont on fait habituellement usage dans les calculs numériques; on les a nommés pour cette raison logarithmes vulgaires; nous les désignerons par le signe log.
On appelle module d'un système de logarithmes le nombre constant par lequel il faut multiplier les logarithmes népériens pour avoir les logarithmes du système considéré. Soit a la base d'un système de logarithmes; d'après ce qui a été dit précédemment, son module M sera
c'est4-dire l'inverse du logarithme népérien de la base. Le
modale des logarithmes vulgaires est M = o,434'^9448i g...
Lorsqu'on passe d'un système dont la base est a à un
système dont la base est a\ le multiplicateur constant
^j j s'appelle module relatif du premier système au second.
88* Il est bon de faire voir pourquoi Néper a choisi le nombre incommensurable e pour base de son système de logarithmes. Considérons les deux progressions
dans lesquelles a et ^ sont des quantités très-petites, afin
H» UVttE IV, CHAP. IL
qiie les terméd des deux t>rogressions croissent par degrés très-petits, et que Tod ait ainsi les logarithmes de tous les nombréd avec une grande approximation. Néper appelait module dès logarithmes définis par ces deux progressions
le rapport-, ou plutôt la limite de ce rapport, quand a et^
tendent simultanément vers zéro, et il distinguait chaque système de logarithmes par son module. L'idée lui vint alors d'adopter le système dont le module est l'unité, celui qu'il regardait comme le plus simple. Si Ton fait p = a, les deux progressions deviennent
Telles sont les deux progressions par lesquelles Néper définissait son système de logarithmes. Calculons la base de ce système, c'est-à-dire le nombre qui a pour logarithme l'unité ; soit met. le terme de la progression arithmétique qui est égal k l'unité, oii à peu près, le terme correspondant de là progressioxi géométrique est (i + a)"^; puisque ma = i ,
on a a = — et (i 4- a)*" = ( 1 H — ) ; lorsquea tend vers
zéro, m augmente indéfiniment, et le nombre ( i H )
tend vers la limite ^, qui est la base des logarithmes népériens.
Logarithmes tmlgaires.
89. Dans un système quelconque les puissances de la base a\ a*, a^...i* ont évidemment pour logarithmes les
nombres entiers i, 2, 3 Dans le système vulgaire, ce
sont les puissances de 10, savoir 10, 100, 1000, qui
ont pcmr logarithiâe» lèê mmbreê entiers fettecèsédfs. Les logarithmes ont été calculés en décimales; la partie entière d'un logarithme s'appelle caractérisîiqm.
Les nombres plus petits que l'unité ont leurs logarithmes négatifs ; les logarithmes négatifs étant incommodes dans la pratique, on leur substitue des logarithmes qui ont leur partie décimale positive et leur caractéristique seulement négative. Soit le nombre o,o5564 plus petit que l'unité; son logarithme est négatif et a pour valeur
Écrivons ce logarithme de la manière suivante
ou plus simplement ^
Sous cette forme, le logarithme a sa partie décimale positive; le signe — , placé au-dessus de la partie entière, indique que la caractéristique seule est négative. La ear0^ téristique négative du logarithme d'un nombre décimal plus petit que ï unité renferme un nombre d'unités marqttépar le rang du premier chiffre significatifs à partir de la virgule. En effet, soit m le rang du premier chiffre significatif à partir de la virgule dans le nombre proposé y; le produit y X 10** étant compris entre 1 et 10, son logarithme a zéro pour caractéristique, avec une partie décimale positive; pour revenir au nombre y, il faut diviser par 10**, c'est-àdire retrancher m du logarithme; le logarithme de y aura donc une caractéristique négative m, suivie d'une partia décimale positive.
Dans la première partie de cet ouvrage (livre IV, cb. 5) ,
108 LnRE lY, GHAP, II.
nous avons expliqué Tusage des tables de Gallet. Nous nous sommes occupés aussi des questions relatives aux intérêts composés et aux annuités. Nous y renvoyons le lecteur.
Bésolution des équations exponeniielles.
90. On appelle équation exponentielle une équation de la forme
dans laquelle a et & sont deux quantités positives données, l'exposant x l'inconnue qui doit vérifier l'égalité. Il est facile de résoudre une semblable équation au moyen des logarithmes. Si l'on prend les logarithmes des deux membres de l'équation, on a
afloga = log6; d'où
loga On obtient ainsi la valeur de l'inconnue.
Exemples.
log».54 5.098^975 ^ 3 ggei97.
log7 0,84509804 ^^'^*»7.
logo46a
log3
On peut encore résoudre des équations exponentielles plus compliquées que la précédente. Soit l'équation
dans laquelle le premier membre signifie que le nombre a est élevé à une puissance marquée par If , les trois lettres a, 6, c désignant d'ailleurs des nombres donnés positifs. En prenant les logarithmes des deux membres, on a
é*xloga = logc, d'où
loga
On est ramené ainsi à l'exponentielle ordinaire. Pour que la question soit possible, il faut que a et c soient tous deux supérieurs ou tous deux inférieurs à l'unité, afin que le second membre ait une valeui' positive. Si l'on prend une seconde fois les logarithmes, on a
a? log 6 = log log c — I og log a ;
log loge — log log a log*
