CHAPITRE PREMIER

DÉRIYÊESé

91. Lorsque deux quantités variables a; et y sont liées Tune à l'autre, de telle sorte que la variation de Tune entraîne la variation de l'autre, on dit que ces deux quantités sont fonctions l'une de l'autre. Si l'on regarde y comme une fonction de a;, on indique cette liaison par le sym-^ boley = f {x). Nous supposerons dans ce qui suit que^ lorsque la variable x varie d'une manière continue entre certaines limites, la fonction y varie aussi d'une manière continuée A un accroissement très-petit h de la variable, correspond une variation ou accroissement très-petit k de la fonction. Quand le premier accroissement tend vers zéro,

lé second tend aussi vers zéro; en général, le rapport r

de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable tend vers une limite finie et déterminée. Cette limite est ce qu'on appelle la dérivée de la fonction propo-

DtRIineES. 111

sée. La dérivée est une nouvelle fonction de x que nous représentons par le symbole y' ou f(œ).

Considérons, par exemple, la fonction y = a;'. Si Ton donne à la variable x Taccroissement A, la fonction devient

(a: + A)« = x« + aa:A + A«;

elle éprouve raccroissement

k = [x + hf — x^ = !ixh + h\

On e» déduit

Quand on fait tendre h vers zéro, le rapport de raccroissement de la fonction à l'accroissement de la variable tend vers la limite ^x. Telle est la dérivée de la fonction X*. On écrira y'= 2X.

02. Considérons encore ]a fonction plus générale y=ax'", dans laquelle l'exposant m est entier et positif, et le coefficient a constant. Si Ton donne à la variable x Faccroissèment A, la fonction devient

a{x+hY'=ùx'^A — ao?*"" ^ A + ^ "" ^' œxf^'^h? + ....* + aA**; XI/ I j • i.a '

elle éprouve l'accroissement

ir=a(a:-l-A)**-=-aa^=max**'*A-{-— ^ — '■ — ^âx"*-'A*+«**««4"^A**i

On en déduit

^^max^' + 'll^^l^^^^ax^^^ h i.a

Quand on fait tendre h vers zéro, tous 1^ termes du secoiid

112 LIYRE V, CHAP. U

membre» à partir du second, tendent vers zéro. Gomme ils sont en nombre fini, leur somme tend aussi vers zéro. Le

k rapport - tend donc vers la limite maa;*"""*. Telle est la dérivée de la fonction ax"^ ; on écrira y' = mcw?"*""* . Ainsi, on obtient la dérivée de la fonction ax"" en multipliant cette fonction par Vexposant de x, et diminuant ensuite Xexposant d'une unité.

93. Ces exemples montrent bien l'existence de la dérivée. On peut ramener ce fait analytique à l'existence de la tangente à une courbe.

Soit y = / (a?) la fonction proposée. Traçons dans un plan

deux droites fixes OX et OY, Tune horizontale, l'autre verticale ; à .partir du point portons sur la première une longueur OP égale à une valeur quelconque de la variable Xy au point P élevons une perpendiculaire sur laquelle nous prendrons une longueur PM égale h la valeur correspondante de la fonction y, et opérons de même pour chaque valeur de x. La fonction étant continue, le lieu des points M ainsi obtenus formera une courbe qui représentera la marche de la fonction, Afin d'étendre ce mode de représentation à toutes les valeurs, on convient de porter les valeurs positives de a; à droite du point 0, les valeurs négatives à gauche ; et de même on porte la valeur de y sur la perpendiculaire, au-dessus si elle est positive, au-dessous si elle est négative. Cela posé, donnons à a; un accroissement PF -= A, la

DKKIVÉ£S. 113

fonction épiouveiâ un accroissement k représenté par la dijBFérence M'D entre les deux perpendiculaires ou ordonnées voisines MPetMT'. Traçons la sécante MM'; dans le

k triangle rectangle MM'D, le rapport -est égal à la tangente de l'angle M'MD ou de Tangle ^ que fait cette sécante avec l'axe horizontal OX. Faisons maintenant diminuer Taccroisseraent h jusqu'à zéro, le point M' se rapprochera indéfiniment du point M; la sécante, tournant autour du point M, tendra en général vers une position limite MT qui est la tangente à la courbe au point M ; l'angle p tendra vers l'angle a, que fait la tangente MT avec l'horizontale, et le

k rapport ~ , qui est égal à tang §, tendra vers la limite

tang a.

Ainsi, quand la courbe qui représente la fonction a une tangente, et c'est ce qui a lieu en général, la fonction admet une dérivée,

Ô4. Nous avons appelé dérivée d'une fonction continue y = f{x) la limite du rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable, quand ces deux accroissements tendent vers zéro. Cette dérivée y = f{x) est une nouvelle fonction de x; si l'on en prend la dérivée, on aura la dérivée de la première dérivée^ ou la seconde dérivée de la fonction proposée ; nous la représenterons par le symbole y" ou f'Xx). Cette seconde dérivée y'^ = f'{x) est une nouvelle fonction dex; si l'on en prend la dérivée, on aura la dérivée de la seconde dérivée ou la troisième dérivée de la fonction proposée ; nous la représenterons par y'" ou f"(x). En continuant de cette manière, on obtient les dérivées des différents ordres de la fonction proposée.

Hâ LI>?RE T, CHAP. I.

Dérivée d'une somme,

96, Soient Ui, Vr,w div^rseê fonctions cotititm«d de la variable x^ y leur somme algébrique

Désignons par le symbole Aa? raccroissement que Ton donne à la variable x, par Aw, Av, Ato, Ay les variations ou accroissements qui en résultent pour les fonctions w, v» to, y (la lettre A indique en général une variation ou une différence). Nous convenons aussi de représenter les dérivées de ces fonctions par les notations u\ v\ w\ y\ accentuant simplement les lettres qui désignent les fonctions. On a évidemment

A^ = Aw -|- Aï; — àw.

Si l'on divise tous les termes par ax, il vient

Ay Aw Av ^w AX àX AX Ax'

Supposons m aintenant que l'accroissement Lx de la variable tende vers zéro, les accroissements correspondants Aw, Av, Ato» Ay des fonctions tendront aussi vers zéro; le rap- Afx

port — tendra vers une limite qui, par défitiition, est la

dérivée de la fonction Uy dérivée que nous représentons

' , , Av Ato Aw , * ^

pwri*'; l€a rapports —, —, ^ tendront de même vers

des limites qui sont les dérivées des fonctions v, ti?, y, et Ton aura

y' z=iu' ■\- v' — w\

Ainsi, la dérivée â! une somme algébrique est la sximme des dérivées des diverses fonctions qui la composent.

bÈRiVÉES. 115

Dérivée d*une fùHctien entière.