Toute fonction entière du degré m est de la forme

C'est îa sotnïfae algébrique des termes qui la composent. D'après le théorème précédent, sa dérivée est égale à la somme des dérivées de ses différents termes» Nôtis avons vu (n** 92) que pour trouver la dérivée d'tine fonction entière simple ax"^^ il faut la multiplier par Vexposaût de x et diminuer ensuite cet exposant d'une unité*, en appliquant cette règle à chacun des termes du polynôme, on a

Le degré de chaque terme s' abaissant d'une unité, la dérivée est une fonction entière du degré m — i- Le Vëtiùè cùûstant A^ ne donne rien dans la dérivée, et, en effet, qfuând x varie, l'accroissement k de la constante étant nul, on a

- = o, et la dérivée est nulle.

En prenant la dérivée de cette première dérive, m

obtient k seconde dérivée du polynôme proposé

n^)=m(m— i)A,ar-'+(m— i)(m— 2)A,â:«-»+ + A^,;

p'est une fonction entière du degré m — 2.

La troisième dérivée, ou la dérivée de la seconde dérivée,

est du degré m — 3, et ainsi de suite, chaque dérivation diminuant le degré d'une unité.

La dérivée de l'ordre m est du degré zéro; c'est u»e

constante. Les dérivées suivantes sont nulles. Ainsi un polynôme du degré m a m dérivées.

Exemple.

En appliquant la règle énoncée plus haut, on obtient les dérivées successives :

f'(x) = Zx^+ loa? — 7, r(x) = 6x+io,

Il est à remarquer que le terme constant du ploynôme proposé n'entre pas dans la dérivée ; que les deux derniers termes n'entrent pas dans la seconde dérivée, etc. Le premier terme entre seul dans la dernière dérivée.

Développement d'une fonction entière f(x) suivant les puissances croissantes de h qtmnd on remplace x par x+h.