Si dans ta fonction entière

f(x) = A,x^ + A,x^' + A,oir'* + A^,x + A^,

on remplace la variable x par a? + A, il vient

nx + h) = A,{x+kr + A,{x + hr' + A,{x + h)^*+

et, en développant chaque terme suivant la loi du binôme,

+A,ir«-*-{-(ni— 2)Asa;«^»

+Am^lX

+Ai»^

j-24-...+m(m-l)...2.1.AojxS

Dans la première colonie verticale nous retrouvons le polynôme proposé f{x) . Dans la seconde colqnne, qui contient h en facteur, nous trouvons la première dérivée f[x) ; et en effet on voit que Ton obtient ce second polynôme en multipliant chacun des termes du polynôme proposé par l'exposant de x et diminuant cet exposant d'une unité. Le polynôme écrit dans la troisième colonne, et qui contient

— en facteur, se déduit du précédent suivant la même

loi ; c'est la dérivée de la première dérivée, ou la seconde dérivée f{x) du polynôme proposé. Le polynôme suivant,

coefficient de ^, est la troisième dérivée f\x) , et ainsi

de suite. Enfin, dans le dernier terme, le coeflScient de

est la dérivée d'ordre m. Le développement de

f{x-\'h) suivant les puissances croissantes de h s'écrira

donc

Dérivée d'un produit.