Considérons d'abord un produit de deux fonctions

Si Ton donne à la variable x l'accroissement Aa;, les fonctions ti, t?, y éprouvent des accroissement correspondants Ali, Av, Ay, et l'on a

y+Ay=(w + Att)(t; + At;),

OQ, en effectuâQt )a muHiplicatioa et supprimant dans les deux membres les quantités égales y et uv,

Divisons tous les termes par Ax, il vient

Av At; . ^u , àiU

Aa: Aa? Ax Ax

Si raccroissement Aa? de la variable x tend vers zéro, les rapports —, —, -p tendent vers des limites qui sont les

dérivées u\ v\ y' des fonctions w, v, y; le troisième terme du second membre devient nul, parce que le premier facteur 7- tend vers une valeur finie u', tandis que le second

facteur tend vers zéro. On a donc

y' = Wt/ -|- vu'.

La dérivée d'un produit de deux facteurs égale l^ premier facteur multiplié par la dérivée du second^ plus le second multiplié par la dérivée du premier.

Considérons maintenant un produit de trois fonctions

y == uvuu

Si Ton regarde le produit uv des deux premières comme ne formant qu'un seul facteur, et si Ton applique la règle précédente, on a

en développant la dérivée (uvj du produit uv, il vieqt }f' = vwi/ -|- w[uv' 4- vv!).

OU

Ainsi, la dérivée d'un produit de plusieurs facteurs est égale à la somme des produits que fan obtient en multipliant la

dérivée de chaque facteur par le produit de tous les autres.

Exemples.

, Dérivée d'ww quotient.