Une puissance entière

d'une fonction u de la variable a? est te produit de m facteurs égaux entre eux

y = uuu

Si l'on prend la dérivée de ce produit d'après la règle ordinaire, il vient

DÉRITÉES. 121

OU plus simplement

On obtient la dérivée de la puissance d'une fonction en multipliant par V exposant^ diminuant cet exposant d'une unités et multipliant le résultat par la dérivée de la fonction.

Ce théorème est vrai pour un exposant quelconque^ Considérons une puissance fractionnaire

en élevant à la n' puissance, on a

Si l'on prend les dérivées des deux membres» d* après la règle précédente, il vient

d'où

et, en remplaçant y par sa valeur u" ,

Considérons maintenant une puissance négative quelconque

En prenant la dérivée du quotient— , on a

— mtC^^u*

y'= — — = — mtr**"V.

C'est encore la même règle que pour les exposants positifs. Corollaire. La dérivée d'une racine carrée égale la déri^ vée de la fonction placée sous le signe radical divisée par deux fois le radical. Car, en appliquant la règle précédenle à la fonction

on a

Exemples.

4^» y = \Jx — x^, i/ = Ç^ * = ~v=-

aV^aa?' — 4^*+ 5

Va«— a?* ya^-^x^

y = n(a + to'*)""*»»^^?**^* = mnta?"*f* (« + ô^)'*"^ 8**y = a+—: 3 — + ^ = a + ô:z^ »-c^ ' + dx-\

\X^ ÛC\X

a , -^ . 4 -^ , , 2Ô , 4c arf y' = — -ôa? *47=ca? '— 2rfar' = jTzzi ^ 5--

^ . '^ 3.2V a;» 3:rY.r ^

DÉBIVÉES. 123

Dérivée S une fonction de fonction.

101. Soit y une fonction f{u) de la quantité « qui est ellemême une fonction de la variable x; par l'intermédiaire de la variable u, y pourra être considérée comme une fonction àex; c'est ce que Ton nomme une fonction de fonction.

Si Ton donne à la variable x l'accroissement Ax, il en résulte pour u un accroissement Aw, et pour y un accroissement Ay . On a évidemment

Ay A^ au ^x Aw tix'

Lorsque l'accroissement Ao; de la variable tend vers zéro, raccrois3ei»eQt Aw, et pj^r suite l'aççroissemept Ay, teudeot

At/

aussi vers zéro; la limite du rapport -^ est la dérivée y*

Aa3

de y considérée comme fonction de x; la limite du rapport ~ est la dérivée f{u) de la fonction /'(m) , c'est-à-dire de y

considérée comme fonction de la variable t«; enfin la limite

du rapport-^ est la dérivée w' de la fonction « de x. On a

donc

i/ = f'{u)xu'.

Ainsi la dérivée d*une fonction de fonction est égale au produit des dérivées dfis fonctions qui ta oomposenL Ce principe peut être généralisé. Soit y une fonction f{v)

124 UVRE V, GHAP. I.

de là quantité t), qui est une fonction f (u) de la quantité u, qui est elle-même une fonction de x; par l'intermédiaire des quantités vetu^y est finalement une fonction de x dont nous cherchons la dérivée* On a

Av Av Lv au

Aj; At; Au Ax'

et en prenant les limites,

y' = f(v)X<f\u)Xn'.

La règle établie plus haut, pour trouver la dérivée d'une fonction t*"», est un cas particulier du théorème que nous venons de démontrer sur les fonctions des fonctions.

Dérivée du sinus.