Soit la fonction exponentielle y = a

Si Ton donne à la variable x l'accroissement ft, la fonction éprouve un accroissement

et le rapport des deux accroissements est k ^a^ — 1

On sait que, lorsque h est très-peiit, la différence a* — i est très-petite; posons donc

a^ — 1 == a , d'où

et, en prenant les logarithmes népériens des deux membres,

ALfl = L(i+a),

La

Remplaçons h par sa valeur, l'expression du rapport devient

k a. La a*La a'^La

iL(. + a) L(i+a)«

Lorsque h tend vers zéro, a tend aussi vers zéro, et la

quantité (i + a) «devient égale à e (n» 72); mais Le = i; donc

k xf = lim T = a^La.

Ainsi, pour avoir la dérivée d'une fonction exponentielle^ il suffit de multiplier cette fonction par le logarithme népérien de la base.

Considérons en particulier la fonction exponentielle y = e"'; puisque Le = i , on a j/' = e"". Ainsi, la dérivée de la fonction e* est cette fonction elle-même. La fonction e* jouit de la propriété caractéristique de se reproduire elle-même par la dérivation.

Dérivée de la fonction logarithmique.