La fonction logarithmique

y = loga:

est rinverse de la fonction exponentielle. Si a désigne la base du système de logarithmes, on a

ay = X.

Prenons les dérivées des deux membres d'après la loi que nous venons de démontrer, en regardant a* comme une fonction de fonction ; il vient

flVLaxy' = i,

d'où

a^La

En remplaçant a* par x, et remarquant que la quantité j-

est le module M du système de logarithmes (n"" 87), on a enfin

^ xLa X '

Telle est la dérivée de la fonction logarithmique.

Considérons comme cas particulier la fonction logarithmique népérienne

y = hx;

le module étant Tunité, on a

Résutné.

110. Nous avons trouvé les dérivées des fonctions simples que Ton considère orâinait^ment en mathémàtiqueit ; il est nécessaire de les apprendre par cœur; le tableau âuivai^t permet de les embrasser d'un coup d'oeil :

y = smxj y == cosar,

y = tanga:, y = arcsîna?,

y = arccosar,

y =s arctangâ?^

y s=i mx^^j m étant quelconque , y == cosx,

y' = — smar,

cos'a:?'

] en supposant Tare X compris entre o

et -, a

î/'ssi

y- = a'La,

y = logar.

y'-sU^

y = Lx,

111. Les fonctions complexes pouvant être considérées comme des fonctions de fonctions^ on calculera leurs dérivées d'après la loi connue. En voici quelques exemples ;

1* y = sina;*. Si Ton pose w=ic', on a y = sinu et Ton voit que y est une fonction de fonction. L'application du théorème donne

y' = cos w X v! = 2a?cosa?*.

2* y = «•*"*. j5i Ton pose u = sin a?, on a encore une fonction de fonction y = e"*, qui admet pour dérivée

y' = e** X tt' = e»"»* X cosar.

8*» y = e»>»**. Si l'on pose w = a?*, t? = sin «, on a une fonction de fonction y =: e" plus compliquée que les précédentes; le même théorème donne

y' = e, cos w . 20? = aa:e«>n»'cosa?*.

A*» y = L (a? + \J\ + x% En posant w = a; + ^i + x', on a la fonction de fonction y = Lu, qui admet pour dérivée

,1 , sJ\+x^ 1

«. x + sfx+x* v/i+o?*

5* y = rc*. En remarquant que, d'après la définition même des logarithmes népériens, on a identiquement a; =e^, on pourra écrire cettte fonction sous la forme y = c*^; si Ton

pose u = xLx^ on a la fonction de fonction y = e"*, qui admet pour dérivée

y' = cV = c«{i +Lx)=x'[i+ Lx).

Par l'habitude, on arrive à décomposer les fonctions complexes par la pensée, sans employer les lettres auxiliaires u etv.

Exercices.

Trouver les dérivées des fonctions suivantes :

V y z=z arc sina: — v^i — a;*. Bép. : y' =

â* y = tanga? — cota;. w' = -r-z r-.

^ ^ ^ sm*a;cos*x

y y=:x{Lx—i), y'='Lx,

5' y = xsin x + cosar, y' = x cosar.

6' y = — arcosa? + sina;, y = arsina?.

^ \ X ) x\li — x^

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