ÉTUDE DE LA VARIATION DES FONCTIONS

112. Soit /"(a?) une fonction continue, /"'(a?) sa dérivée. Nous avons appelé dérivée d'une fonction la limite du rapport de r accroissement fc de la fonction à T accroissement A de la variable, quand ces accroissements tendent vers zéro.

Lorsque h est très-petit, le rapport r diffère très-peu de

sa limite; on a donc d'où

e étant une quantité très-petite qui s'annule avec h. Quand la dérivée f'{x) n'est pas nulle, on peut rendre h assez petite pour que la quantité e soit înoindre que f'{x) en valeur absolue; alors c'est la quantité f{x) qui donne son signe à la parenthèse. Si l'on suppose h positive, c'est-àdire la variable x croissante, on voit que la variation fc de la fonction aura le signe de la dérivée f'{x); quand la dérivée sera positive , k sera positive et la fonction ira en croissant; quand la dérivée sera négative, k sera négative et la fonction ira en décroissant.

On déduit de là les tliéorèmes suivants : 1" Si la dérivée d'une fonction reste positive pour toutes les valeurs de x comprises entre a et 6, la fonction va en croissant quand x

I^BiVÉUS. 135

croît de a à 6; 2° si la dérivée reste négative, la fonction va en décroissant.

118. Lorsqu'une fraction , après avoir augmenté, décroît ensuite, elle passe par un maximum, c'est-à-dire par une valeur plus grande que les valeurs voisines. Au contraire, lorsque la fonction, après avoir diminué, croît ensuite, elle passe par un minimtcm, c'est-à-dire par une valeur plus petite que les valeurs voisines.

Dans le premier cas, la fonction commençant par croître, la dérivée est d'abord positive; la fonction décroissant ensuite, la dérivée devient négative. Ainsi, quand la fonction passe par un maximum, la dérivée change de signe; de positivedeveaant négative.

Dans le second cas, la fonction commençant i5ar décroître, la dérivée est d'abord négative; la fonction croissant en* suite, la dérivée devient positive. Ainsi, quand la fonctioa passe par un minimum, la dérivée change de signe, de négative devenant positive.

Les réciproques sont vraies : lorsque la dérivée change de signe, la fonction passe par uxi maximum ou par un minimum. Si la dérivée de positive devient négative, la fonction, croissant d'abord pour décroître ensuite, passe par un maximum;, si ladéiivée de négative devient positive, la fonction, décroissant d'abord pour croître ensuite, passe par un minimum.

Ordinairement la dérivée d'une fonction continue est aussi finie et continue ; elle change de signe en passant par la valeur intermédiaire zéro. On obtiendra donc les valeurs àb 9 qin rendent la fonction maximum ou minimum en cherckant les valeurs de x qui annulent la dérivée, et qui en outre lui font éprouver un changement de signe.

136 LIVRE V, GHAP. ,JI.

Exemples,

IIA. Question I. Étudier la variation du volume d'un cylindre circulaire droit dont la surface totale est constante.

Appelons x le rayon de la base, y la hauteur, et représentons la surface totale donnée par 2ica*; nous avons la relation

ou plus simplement

x^ + xy =i a*.

Le volume V du cylindre a pour expression

et si Ton remplace y par sa valeur y = tirée de

la relation précédente,

V = ira:(a' — ar') = T:(à^x — x^);

e'est une fonction de la variable indépendante x.

Les valeurs de â? et de y devant rester positives, le rayon x de la base ne pourra varier que de o à a. Quand x varie de o à a, on voit que le volume part de zéro pour revenir à zéro, en passant par une suite de valeurs finies. Pour étudier la variation de cette fonction, prenons sa dérivée

Y = n(a' - 3^«) = 3t: (^ - xA .

La dérivée est positive pour les valeurs de x inférieures

à -— , négative pour les valeurs de x supérieures à ~. Si

donc on fait croître a? de o à — , le volume ira en augmentant de zéro à une certaine valeur maximum ; x crois* sant ensuite de --=: à a, le volume ira en diminuant de cette valeur maximum à o.

Pour a; = — , on a y = — . Amsi, parmi tous les cy-

lindres qui ont même surface totale, le plus grand est celui dont la hauteur est égale au diamètre de la base.

115. Question II. Étant donnée une feuille de carton rectangulaire ABGD, si, après avoir mené des parallèles aux quatre côtes à la même distance^ on enlève les petits carrés dans les angles , et qu'on relève les portions rectangulaires telles que EKLF, on forme une boite à fond rectangulaire EFGH. Étudier la variation du volume de celte boîte.

Appelons 2a et 26 les côtés AB et AD de la feuille de carton, x la distance variable AK à laquelle on mène les parallèles ; le fond de la boîte est un rectangle ayant pour côtés EF = 2 (a — x) et EH = 2 (6 — a?) , et pour surface 4(a — a?) {b — x); la hauteur de la boîte est x; le volume a donc pour expression

\ = [ix[a -^ x)[b — x).

Si Ton suppose a>b, x peut varier de à 6; le volume part de zéro pour revenir à zéro , en conservant des valeurs finies. La dérivée de cette fonction est

r = 4[3ar«— 2{a + b)x + ab.]

138 IIVRE V, CHAP. II.

La pareuthèse est ua polynôme entiei: du seccmd dQgré, Si dans ce polynôme on remplace x par zéro, on a un résultat poâtîf + «fr ; si l'oïï remplace x par ft, on a un réauUat négatif — 46(a — b) \ ainsi le polynôme a ses demç racines réelles , la plus petite x' comprise entre o et 6, la plus grande a?" supérieure à 6, et Ton écrira

Quand x croit de o à a?', la dérivée étant positive, le VQlume augmente de zéro à une certaine valeur maximum; x croissant ensuite de x' k b^ la dérivée devient négative et le volume diminue de cette valeur maximum jusqu'à zéro.

Le volume acquiert sa valeur maximum pour la valeur

a + *■«• Ja^rh 6* — ab

U6. Question liï. Étudier la variation de la surface totale dtun cylindre circulaire droit inscrit dans une sphère donnée.

Si Ton appelle x le rayon de la base et sy la hauteur du cylindre, on a

S == 2710;- -f- ^{'Kxy ;

Le rayon x peut varier de o à r. Lji fonction S, (jw Von veut étudier, a pour dérivée

, 4« [^ s/r^ — x* + fr» — fix^)]

Qu^pd X croît. (Je à -p , la dérivée est positive et la fopc-

tion croît de zéro à Sur". Faisons maintenant varier x de — : à r 5 on a

4^ [^ y/r' — x^ — {'iX^ — r*)]

La parenthèse est la différence de deux quantités; si Ton multiplie et si Ton divise par la somme, il vient

4it [x^{r^ — x^) -- (23:-^ — r* )^] fa?v/r* -rt- ^* -i- (2^* — r*)J y/r* — ;2,*^ ^, 47c{— 5;r* + 5r*^- — r*)

Le dénominateur étant positif, il suffit d'examiner le sigue du numérateur, qui est un polynôme entier du second degré en çç*. Quand, dans, ce polynôme pris sous sa pre-^

mièFe f(Mrme, on remplace x* par — , on obtient un ré-

sultat positif; quand on remplace x^ par r*, on obtient

un résultat négatif; on en conclut que les deux racines du

trinôme sont réelles , que la plus petite a?" est inférieure

à — et la plus grande a?"* comprise enti'e — et r^ On a

donc

[x 0^' -— x^ + {fix^ — r^ )] v^r^— x'^

Quand x varie de ~p 4 x'\ la dérivée est positive, et la

fonction continue à croître de S^rr* jusqu'à une valeur

maximum ; x variant ensuite de cd' à r, la dérivée est négative, et la fonction décroît de la valeur maximum à 2îcr*. Le maximum de la surface est donné par la valeur

a? = ar" :

117. Question IV. Soil GH la ligne de séparation de deux milieux ; la lumière se meut dans ces deux milieux avec des vitesses différentes v et \\ Quel chemin doit suivre le rayon lumineux pour aller du poiiit A au point B dans le temps le plus court ?

Nous pouvons déterminer la position des points A et B par leurs distances AP et BQ à la droite GH, et par la distance PQ; nous désignerons ces trois longueurs connues par ayb.c. Si la vitesse était la même dans les deux milieux, il est clair que la lumière suivrait le chemin le plus court, c'est-à-dire la droite AB ; mais la vitesse v dans le milieu supérieur étant plus grande que la vitesse v' dans le milieu inférieur, il yia avantage à ce que la lumière parcoure une plus grande longueur dans le premier milieu et une moindre dans le second ; elle suivra donc une ligne brisée telle que AMB. Appelons a? la distance cherchée PM; la lumière parcourt dans les deux milieux les longueurs

AM = v/a« + x^, MB = v/6« + (c — xY ; elle emploie à les parcourir les temps

DÉRIVÉES. lâl

sla}-{-x^ ^é«+(e — a:)2

elle met donc, pour aller de A à B, en suivant le chemin AMB, le temps

Ce temps est une fonction de a?, considérée comme variable indépendante ; elle a pour dérivée •

vv/«'+^' v's/b^ + {c — x^y

Au point M menons une perpendiculaire NN' à GH; l'angle AMN est l'angle d'incidence i, l'angle BMN' l'angle de réfraction a. Gomme a