PM X

smt

AM ^flî [ a;«

... QM c — X

smz = --7 =

BM y^i^^^i^c — xy' il en résulte cette expression de la dérivée sint sint'

Quand le point M se déplace de P à Q, l'angle t augmente de zéro à une certaine valeur, tandis que l'angle i' diminue au contraire d*une certaine valeur à zéro. Il y a donc un point, et un seul, pour lequel la dérivée s'annùUe : avant, elle est négative; au delà, elle devient positive. La fonction que Ton étudie diminue jusque-là pour augmenter

ensuite. Le minimum aUeu, quand on a sint sini'

sini V

sine* î^''

C'est par cette considération du temps minimum que Fermât a trouvé pour la première fois la loi de la réfraction de la lumière.

118. Question V. Étudier la variation de la surface d'un secteur sphérique de volume constant.

Appelons x le rayon du secteur, y là hauteur de la calotte qui lui sert de base, et supposons que le volume soit égal à celui d'une sphère de rayon donné a; nous aurons la relation

ou plus simplement

La surface du secteur a pour expression

S = ira? s/y(2X -— y) -f- ài^yx . et, si Ton remplace y par sa valeur,

La hauteur y de la c&lotte étant plus petite quô le di»* mètre sâ?i le rayon 30 est plus grand (}ue a/ ainsi la i^

riable x peut croître à partir de a indéfiniment. La surface a pour dérivée

Le numérateur est la différence de deux quantités ; si Ton multiplie les deux termes de la fraction par la somme» m a

a?* v/a(a;^ — a«) [^' + aa^ + 4a v/a(^' — a^)] *

Le dénominateur étant positif, il suffit d'examiner le signe du trinôme

qui est du mtortû degré par rapport à âc)% et qui, déeoffipo8é en facteurs, s'écrit

(x* — 2a^) (x^ — loa').

Quand as varie de a àâya^ la dérivée étant positive^ la

surface croît i œ variant de a^k a\/Tôs la dérivée est négative et la surface décroît; x Croissant ensuite indéfiniment au delà de ayio, la dérivée est positive, et la surface augmente.

Examinons maintenant les formes successives par lesquelles passe le secteur. Lorsque a? =c a< on a y = sa, S = 4^«* ; le secteur se réduit à une sphère de rayon

a. Le rayon x croissant de a à av/2, y décroît de

Ê(3t â a V 2 , le secteur, qui est plus grand qu'un hémisphère, s'ouvre de plus en plus, jusqu'à ce qu'il arrive à la forme d'un hémisphère; la surface augmente de la valeur înî-

lââ LIVRE V, CHAP. II.

tiale l\Tza^ au maximum Sira^ \Jl\, Le rayon croissant ensuite de ay^ à ay lo, y décroît de a ya à -^ — , le secteur , qui^ est maintenant moindre qu'un hémisphère , s'allonge jusqu'à ce que la hauteur de la calotte ne soit que le cinquième du rayon ; sa surface diminue du maximum Sica* v^4 au mimmum ita^ yioo. Le rayon x croîssuite au delà de ay lo indéfiniment, y diminue et tend vers zéro; le secteur continue à s'allonger, et sa surface augmente indéfiniment.

On peut remarquer que la valeur minimum TcaV^oo,

par laquelle passe la surface pour aî = av/io, est plus grande que la valeur initiale 4^a*. Ainsi, c'est quand le secteur a la forme d'une sphère que sa surface est la plus petite possible. Nous remarquerons encore que la surface passe une seule fois par toute» valeur comprise entre la

valeur initiale l\tza^ et le minimum ica* v^ioo, trois fois par toute valeur comprise entre ce minimum et le maximum

Sica'v/ÂTet enfin une seule fois par toute valeur plus grande que ce maximum.

119. Question IV. Étudier la variation du volume du secteur sphèrique dont la surface totale est constante.

On peut déduire cette question de la précédente. Il sera plus commode de prendre pourvariable, non pas le rayon x

du secteur ou la hauteur y de la calotte, mais le rapport —

de ces deux longueurs, rapport que nous désignerons par z. Cette nouvelle variable caractérisera la forme du solide et aura la même valeur pour tous les solides semblables.

DÉRIVÉES. Iâ5

Quand x croît de a à co , y décroît de aa à o et par conséquent js croît de - à oo. Donnons à la nouvelle variable deux

valeurs js et V; soient S et S' les surfaces totales des solides correspondants, quand le volume V reste constant ; imaginons que Ton change les dimensions du second solide en le laissant semblable à lui-même, de manière que sa surface, qui était S', devienne égale à S ; son volume , qui était V, acquerra la valeur V donnée par la relation

Ainsi, quand on passe d'une forme à une autre en laissant constant, soit le volume, soit la surface, on voit que la surface dans le premier cas, le volume dans le second cas, varient en «ans contraires ; si la surface augmente, le volume diminue ou inversement. A un minimum de la surface correspondra un maximum du volume et à un maximum de la surface un minimum de volume.

La variable z croissant de - à i , le secteur passe de la

forme d'une sphère entière à celle d'un hémisphère et le volume diminue; z croissant de i à 5, le volume augmente ; z croissant à partir de 5 indéfiniment , le volume diminue et tend vers zéro. Le volume a passé d'abord par un minimum, puis par un maximum.

La plupart des questions géométriques se correspondent ainsi deux à deux.

Exercices.

Question L Étudier la variation de la surface d'un trapèze inscrit dans un demi-cercle.

Iâ6 LIVRE r, GHAP. III.

Question IL Étudier la variation de la surface totale d'un cône circulaire droit inscrit dans une sphère donnée.

QuESTiOiN lîl. Étudier la variation du volume d'un parallélipipède rectangle à base carrée dont la surface totale est donnée.

Question IV. Étudier la variation du volume d'une niche de surface donnée.

Question V. On fait mouvoir une lumière sur une droite verticale; étudier la variation de la quantité de lumière reçue par une portion très-petite du plan horizontal.

Question VI. -Sur les faces d'un cube on place six pyramides régulières de même hauteur; la surface totale étant donnée, étudier la variation du volume du solide ainsi formé.

Question VII. Sur les faces d'un tétraèdre régulier on place quatre pyramides composées chacune de ti^ois triangles isolés égaux. La surface totale étant donnée, étudier la variation du volume du solide ainsi formé.

Question VUL Un aéromètre est formé d'un cylindre de rayon donné terminé par deux cônes égaux. La surface totale étant donnée, étudier la variation du volume.

Question IX. Un triangle est formé par trois arcs de cercle égaux entre eux et de longueur donnée; étudier la variation de la surface.